【正文】 而 ， 用來反映位移狀態(tài)的變化，故 位移的變分為 mA mB.δδ,δδ ?? ??mmmmmm BvvAuu(d) us,uv位移變分法 四 彈性力學 用差分法和變分法解平面問題 42 δ ( δ δ ) d d ( δ δ ) d . ( e)xy xyAsU f u f v x y f u f v s?? ? ? ??? ?δ ( δ δ ) . ( f )mmm mmUUU A BAB?????mA mB 位移的變分通過 ， 的變分來反映，故形變勢能的變分為 （ 2）位移 (a)還必須滿足位移變分方程 .δδ,δδ ?? ??mmmmmm BvvAuu(d) 將式 (d)， ( f )代入 (e)得 位移變分法 四 彈性力學 用差分法和變分法解平面問題 43 ?? ???? ????????????A smm mA smm mBsvfyxvfBUAsufyxufAUmymymxmx??0δ]ddd[δ]ddd[因虛位移（位移變分）中的 ， 是完全任意的，獨立的，為了滿足上式，必須 : mAδ mBδ位移變分法 四 彈性力學 用差分法和變分法解平面問題 44 d d d ,( 1 , 2 ) ( g )d d d .mmmxxAsmy m yAsmUf u x y f u sAmUf v x y f v sB??? ??? ?? ???? ????? ??? ??? ?mA mBmA mB式 (g)是 瑞利 里茨變分方程 。 ? ⑴ 虛位移（數(shù)學上稱為位移變分） ， 表示在約束條件允許下，平衡狀態(tài)附近的微小位移增量，虛位移應滿足 上的約束邊界條件，即 ,v?,0?? vu ??(b) ususu?位移變分方程 三 彈性力學 用差分法和變分法解平面問題 27 ? 虛位移不是實際外力作用下發(fā)生的，而是假想由其他干擾產(chǎn)生的。 （ 4） 對應變的導數(shù)，等于對應的應力： .0?U. , , 111 xyxyyyxxUζUζU ?????????????1U(515) 彈性體的形變勢能和外力勢能 二 形變勢能 Ｕ 的性質(zhì) 彈性體每單位體積中的形變勢能對于任一形變分量的改變率，等于相應的應力分量。于是可不計 （ xx0） 的三次及更高次冪的各項 ， 則上式簡寫為： 20022000 )(!21)( xxxfxxxfff ???????????????????????在結(jié)點３， x=x0h； 在結(jié)點 1， x=x0+h。為此，人們探討 彈性力學的各種近似解法， 主要有 差分法、變分法和有限單元法。 彈性體的形變勢能和外力勢能 二 彈性力學變分法，是區(qū)別于微分方程邊值問題的另一種獨立解法，分為： ?位移變分法： 取位移函數(shù)為自變量，并以勢能極小值條件導出變分方程。由于系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡狀態(tài)與鄰近的狀態(tài)相比，總勢能處于極小值，而 (a)， (b)兩種狀態(tài)的外力勢能不變，因此， (b)的形變勢能小于 (a)，即形變勢能將減少。 0 , ( n )UW?? ??[ ] 0 , (o)UW? ??W?U?（ 4） 最小勢能原理 ─ 式 (k)可寫成 其中 U─ 彈性體的形變勢能，如 167。 ,0, ?? ζu sss位移變分法例題 五 彈性力學 用差分法和變分法解平面問題 53 將位移 (g)代入上式，求出 得出的位移解答與書中用 瑞利 里茨法 給出的結(jié)果相同。 ( ) d d ( ) d . ( l)xy xyAsU f u f v x y f u f v s?? ? ? ? ?? ? ? ??? ?W?),( vu ??)( U? )( W?位移變分方程 三 (522) 彈性力學 用差分法和變分法解平面問題 34 U?( ) d d( ) d d ( ) d . ( m )x x y y x y x yAxy xyAsζ δ ε ζ δ ε η δ γ x yf δ u f δ v x y f δ u f δ v s?? ? ?? ? ????? ?（ 3） 虛功方程 ─ 將式 (j)的 代入上 式，得 位移變分方程 三 虛功方程表示：如果在虛位移發(fā)生之前，彈性體處于平衡狀態(tài)，則在虛位移過程中，外力在虛位移上所做的虛功等于應力在虛應變上所做的虛功。 0?U0? 趨近于彈性力學 用差分法和變分法解平面問題 23 彈性體的形變勢能和外力勢能 二 ⑵ 當 AB線切開后，邊界 CD和 EF仍是固定的，我們可以比較兩種狀態(tài)： ? AB切開后， AB線 仍然處于閉合狀態(tài)，不發(fā)生張開，這是不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。 泛函 －－是以函數(shù)為自變量的一類函數(shù)。 通過求解，得出函數(shù)表示的精確解答。 以相鄰三結(jié)點處的函數(shù)值來表示一個端點處的一階導數(shù)值 ，可稱為端點導數(shù)公式 。當取 時的外力功和能為零，則： ( ) d d ( ) d . (a )ζxy