【文章內(nèi)容簡介】 Q 極小值的運算大大簡化。另外選 σi為試驗測量誤差值，可以減小誤差較大點對擬合曲線的影響。 前一頁 休息 (線性回歸 ) ? 如果由試驗得到的一組數(shù)據(jù) (xi,yi)在平面xy上畫出的曲線與直線差不多 ， 就可以用直線 y=a+bx去擬合 。 問題就變?yōu)檫x擇適當?shù)膮?shù) a和 b， 使得 ? 取得最小值 。 前一頁 休息 直線擬合算法 前一頁 休息 前一頁 休息 (回歸 ) m 次代數(shù)多項式的一般形式 ( m 1) ?????111)(mjjjmxaxP 用這樣的函數(shù)與數(shù)據(jù)（ xi, yi）擬合的問題，實際就是要選擇適當?shù)南禂?shù) a1,a2, … .aj… am +1, 使得 21111/ m innmjj i i iijQ a x y ?????????? ? ????????????? 前一頁 休息 代數(shù)多項式擬合算法 此時，系數(shù) a 必須適合下列方程組 11 1 2112 / 0nmjkj i i i iijkQ a x y xa???????????? ? ?????????????? k= 1,2 , … .m +1 若所有 yi的測量誤差都相同，以上方程可化簡為 111110nmjkj i i iija x y x??????????????????????? 1211 1 1m n nj k kj i i ij i ia x x y?? ? ?? ? ??? ? ? k= 1,2 , … .m +1 前一頁 休息 多項式次數(shù) ? 從這個方程組可以求出系數(shù) aj即可得到所要求的 m次多項式曲線方程 。 ? 當 m值較大時 ， 以上方程的系數(shù)行列式將減小 ， 使方程組出現(xiàn)病態(tài) ， 因而一般多項式擬合最高次數(shù)只取到 m=45。 前一頁 休息 有一些看來復(fù)雜的問題，往往通過變量替換的辦法也可以簡化成簡單的線性形式。例如????210cosiiixaay，其中ia為待定系數(shù)。作變量替換 xz c o s? ， xt 2c o s? tazaay210??? 這樣也轉(zhuǎn)化為線性回歸問題。 D=D0ex p( Q/R T) lnD=ln D0 Q/R T 前一頁 休息 Curve fit toolbox ? 利用曲線擬合工具箱 ? 可以對數(shù)據(jù)進行各種函數(shù)形式的擬合，如多項式擬合、指數(shù)函數(shù)擬合、高斯擬合等 ? 在命令窗口利用函數(shù) a=polyfit(x,y,n)返回 n次多項式的系數(shù)； 前一頁 休息 Matlab－矩陣除法 ? 利用矩陣除法可求解超定、欠定方程。 ? 矩陣除法可以實現(xiàn)特殊形式的回歸 ? 例如，求一形如 y=a+bx2的經(jīng)驗公式中的系數(shù) 例如已知 x,y的 5個值， 令 x1=[ones(5,1),(x.^2)‘]； ab=x1\y‘即可得到系數(shù) a,b 前一頁 休息 4 多元線性擬合 ? 最小二乘法可以推廣到二元、甚至多元線性擬合。 ? 設(shè)因變量為 y，兩個自變量分別為 x1和 x2，假設(shè)已通過試驗測得一系列數(shù)據(jù)為(yi,x1i,x2i), i=1,2,3……n ? 則二元線性回歸方程可表示為 y＝ a+b1x1+b2x2 ? 式中 a為常數(shù)項 ,b1和 b2分別為 y對 x1和 x2的偏回歸系數(shù)。 前一頁 休息 ? 殘差平方和 ? 根據(jù)最小二乘法的原理，令殘差平方和最小，可求得這些參數(shù)。對相關(guān)參數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得 前一頁 休息 ? 方程組的簡化形式 前一頁 休息 Regress函數(shù) ? 利用統(tǒng)計工具箱命令 regress實現(xiàn)多元線性回歸 ? 調(diào)用格式為 b=regress(y,x) 或 [b,bint,r,rint,stats] = regess(y,x,alpha)， alpha為顯著性水平 (缺省時設(shè)定為 ) ? 輸出向量 b， bint為回歸系數(shù)估計值和它們的置信區(qū)間， r， rint為殘差及其置信區(qū)間 ? stats是用于檢驗回歸模型的統(tǒng)計量，有三個數(shù)值，第一個是 R2，其中 R是相關(guān)系數(shù)，第二個是 F統(tǒng)計量值，第三個是與統(tǒng)計量 F對應(yīng)的概率 P，當 Pα時拒絕 H0，回歸模型成立。 ? 用命令 rcoplot(r， rint)畫出殘差及其置信區(qū)間， 前一頁 休息 Excel回歸 ? 1 將數(shù)據(jù)錄入 excel 表格 ? 2 用圖表向?qū)М嫵錾Ⅻc圖， ? 3然后用右鍵點擊數(shù)據(jù)點，添加趨勢線，注意選擇合適的類型 ? 4用右鍵點擊趨勢線，從趨勢線選項中可以選擇顯示公式和相關(guān)系數(shù) R 前一頁 休息 前一頁 休息 前一頁 休息 5 預(yù)測 ? 利用回歸方程可以進行預(yù)測：點估計和區(qū)間估計 ? 回歸方程計算結(jié)果自然是一個點估計 ,如 y0=x0.? ? 實際應(yīng)用中，可能還需要估計目標的區(qū)間 ? 對于 n個數(shù)據(jù)得到的 p元線性回歸 前一頁 休息 預(yù)測目標的區(qū)間估計 ? 利用分布 ? 置信度 1 ?的置信區(qū)間為 00100? ~ ( 1 )[ 1 ( ) ]TTyy t n pM S E x X X x?? ????10 0 / 2 0 0? ( 1 ) [ 1 ( ) ]TTy y t n p M S E x X X x??? ? ? ? ? ? ? 前一頁 休息 ? 多元線性回歸是數(shù)據(jù)分析的強有力工具，建立一個模型是一個復(fù)雜過程。 ? 根據(jù)專業(yè)知識背景，確定有關(guān)變量：舍棄誤差大，不重要、相關(guān)數(shù)據(jù) ? 要收集足夠數(shù)量（ 10倍自變量）高精度的數(shù)據(jù)； ? 預(yù)分析：根據(jù)專業(yè)知識和經(jīng)驗確定自變量的高次項及交叉乘積是否進入模型，是否需要數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換，檢驗全變量線性關(guān)系是否顯著，利用殘差分析等手段考察誤差分布的正態(tài)性、等方差性假定是否合理？ ? 確定回歸關(guān)系形式后，選擇影響顯著的變量，確定最優(yōu)回歸方程 前一頁 休息 167。 假設(shè)檢驗 ? 假設(shè)檢驗是統(tǒng)計推斷的另一類重要問題，它是根據(jù)樣本的信息來判斷一組數(shù)據(jù)是否在某個精度范圍內(nèi)與理論公式一致 , 或判斷總體分布是否具有指定特征。 ? 假設(shè)檢驗包括參數(shù)檢驗和分布檢驗。 ? 參數(shù)檢驗是在假設(shè)是正確的情況下，計算得到擬合參數(shù)的幾率。如果該幾率較大，則接受假設(shè)，反之則放棄假設(shè)。實際工作中一般采用分布假設(shè)。 前一頁 休息 1. 分布律的檢驗 ? 分布律檢驗的原理是 Pearson平方和準則 ? 假設(shè) n個樣本來自分布為 F(x)的總體； ? 將實數(shù)域分成 k個區(qū)間， ? 若樣本落在第 i個區(qū)間的次數(shù)為 mi,而根據(jù)分布律計算得到的概率為 pi 前一頁 休息 分布律檢驗 ? 選取統(tǒng)計量 ? 式中 r為需要估計的參數(shù)個數(shù) ? 根據(jù)樣本觀察值計算統(tǒng)計量的值 ? 查表得臨界值 ? 如果 一般可以接受這種分布假設(shè)，反之拒絕假設(shè) 2 21() ~ ( 1 )k iii im npw k rnp ???? ? ??2 ( 1)kr?? ??2 ( 1 )w k r??? ? ? 前一頁 休息 當樣本來自正態(tài)分布總體 N( ? ， ?2), 其均值服從 t 分布，即 )1(~/0??ntnsx ? 例如，某工廠鋼絲強度的總體均值為 , 今新生產(chǎn)了一批鋼絲，隨機抽取 10 個樣品作抗拉試驗，測得的抗拉強度為 設(shè)鋼絲強度服從正態(tài)分布，問這批鋼絲的抗拉強度是否比以往高？ 前一頁 休息 均值估計示例 假設(shè) H0: ? = ?0=。 H1: ? ?0 在整體均值 ? = ?0= 時???????????????????? )1(/}{000ntnsxPkxP 故拒絕域為)1(/0???ntnsx?? 或)1(0??? ntnsx?? 接受條件0( 1 )/xtnsn????? 取 α =,n=10, 查 t 分布表)110(?t=. 又由樣本觀察值 0 6 3?x ， s=8 . 10 1063. 14 1056. 0+8 . 1 1. 83 31/10= 在 9 5 % 置信度條件下，拒絕 H0, 即這批鋼絲的抗拉強度有顯著提高。 前一頁 休息 U檢驗法（ ?） ? Ztest 樣本均值與一常數(shù)進行比較 ? [h,p,ci,zval] = ztest(x,m,sigma,alpha,tail) h=0接受原假設(shè)， h=1拒絕原假設(shè) m均值， tail=0,1,1對應(yīng)于備選假設(shè)為不等于、大于和小于 m 前一頁 休息 T檢驗法（方差未知） ? ttest: 樣本均值與一常數(shù)進行比較 ? matlab函數(shù)用法與 ztest相似 ? [H,P,CI,STATS] = ttest(x,m,alpha,tail) 判斷來自于正態(tài)分布的 X均值是否為 m.