數學練習題考試題高考題教案專題5：解析幾何題型與方法文科(編輯修改稿)
2024-09-05 12:33 本頁面
【文章內容簡介】 點到直線的距離公式得 …………7分 （II）設兩漸近線的夾角為， 點評：本題主要考查橢圓的標準方程、幾何性質及相關概念，直線方程、平面向量的坐標表示和向量的數量積，多元二次方程組解法、曲線和方程的關系、直線與橢圓相交等解析幾何的基礎思想方法，以及分析問題和綜合解題能力。把兩個向量之間的關系，轉化為兩個向量坐標之間的關系，再通過代數運算的方法來解決有關向量的問題是一種常用的解題手段。例題8．（江蘇卷）已知，記點P的軌跡為E. （1）求軌跡E的方程； （2）若直線l過點F2且與軌跡E交于P、Q兩點. （i）無論直線l繞點F2怎樣轉動，在x軸上總存在定點，使恒成立，求實數m的值. （ii）過P、Q作直線的垂線PA、OB，垂足分別為A、B，記，求λ的取值范圍.解析：（1）由知，點P的軌跡E是以FF2為焦點的雙曲線右支，由，故軌跡E的方程為 （2）當直線l的斜率存在時，設直線方程為，與雙曲線方程聯立消y得， 解得k2 3 （i） ， 故得對任意的 恒成立， ∴當m ＝－1時，MP⊥MQ. 當直線l的斜率不存在時，由知結論也成立， 綜上，當m ＝－1時，MP⊥MQ. （ii）是雙曲線的右準線， 由雙曲線定義得：， 方法一： ， 注意到直線的斜率不存在時， 綜上， 方法二：設直線PQ的傾斜角為θ，由于直線PQ與雙曲線右支有二個交點， ，過Q作QC⊥PA，垂足為C，則 由 故： 點評：本題考查了雙曲線的第二定義，垂直關系，韋達定理和求參數的范圍．（2）。圓錐曲線的標準方程和幾何性質與導數的有機聯系。例題9．已知 （1）求點的軌跡C的方程； （2）若直線與曲線C交于A、B兩點，并且A、B在y軸的同一側，求實數k的取值范圍. （3）設曲線C與x軸的交點為M，若直線與曲線C交于A、B兩點，是否存在實數k，使得以AB為直徑的圓恰好過點M？若有，求出k的值；若沒有，寫出理由.解：（1）由 又，故所求的軌跡方程是 （2）設、把，得 ∵A、B在y軸的同一側，得到 綜上，得. （3）由（2）得…① …② ……③∵曲線C與x軸交點、若存在實數k，符合題意，則不妨取點將①②③式代入上式，整理得到，解得舍去）根據曲線的對稱性，知存在實數，使得以AB為直徑的圓恰好過M點點評：本題是向量，軌跡，直線與圓錐曲線的位置關系的有機結合?？键c六 求范圍例題10．設直線過點P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點，試求的取值范圍.分析：本題中，絕大多數同學不難得到：＝，但從此后卻一籌莫展， 問題的根源在于對題目的整體把握不夠. 事實上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構造所求變量關于某個（或某幾個）參數的函數關系式（或方程），這只需利用對應的思想實施；其二則是構造關于所求量的一個不等關系.解：當直線垂直于x軸時，可求得。當與x軸不垂直時，設，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得解之得 因為橢圓關于y軸對稱，點P在y軸上，所以只需考慮的情形.當時，，所以 ＝＝＝.由 ， 解得 ，所以 ，綜上 .點評：范圍問題不等關系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數的性質法，數形結合法等等. 本題也可從數形結合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.例題11．已知動點與雙曲線的兩個焦點、的距離之和為定值，且的最小值為．（１）求動點的軌跡方程； （２）若已知，、在動點的軌跡上且，求實數的取值范圍．分析：為了求參數的取值范圍，只要列出關于參數的不等式，而建立不等式的方法有多種方法，諸如：判別式法、均值不等式法、有界性法等等．解：(１)由題意．設（），由余弦定理， 得． 又， 當且僅當時， 取最大值，此時取最小值，令，解得，∴，故所求的軌跡方程為. （２）設，則由，可得，故. ∵、在動點的軌跡上，且，消去可得，解得，又，∴，解得，故實數的取值范圍是．點評：新教材的高考已經進行了５年，而解析幾何解答試題和向量綜合呈現了新高考的嶄新亮點，體現了向量知識的工具性和廣泛的應用性．三、方法總結與2008年高考預測（一）方法總結1．求曲線方程常利用待定系數法，求出相應的a，b，b，c，e的意義及相互關系，在求標準方程時，已知條件常與這些參數有關. 2．涉及橢圓、雙曲線上的點到兩個焦點的距離問題，常常要注意運用第一定義，而涉及曲線上的點到某一焦點的距離，需要注意的是右焦點與右準線對應，不能弄錯.3．直線與圓錐曲線的位置關系問題，利用數形結合法或將它們的方程組成的方程組轉化為一元二次方程，利用判別式、韋達定理來求解或證明.4．對于軌跡問題，要根據已知條件求出軌跡方程，再由方程說明軌跡的位置、形狀、定義法、參數法、代入法、交軌法等.5．與圓錐曲線有關的對稱問題，利用中心對稱以及軸對稱的概念和性質來求解或證明.（二）2008年高考預測1．求曲線（軌跡）方程的常用方法（直譯法、定義法、待定系數法、動點轉移法、參數法等）。2．掌握綜合運用直線的基礎知識和圓的性質，解答直線與圓的位置關系的思想方法。3．解析幾何是銜接初等數學和高等數學的紐帶。直線與圓錐曲線是解析幾何的重要內容，因而成為高考考查的重點。綜觀近幾年的全國和部分省高考數學試題，本專題列出高考考查的熱點內容有：（1）直線方程；（2）圓錐曲線的標準方程；（3）圓錐曲線的幾何性質；（4）直線與圓錐曲線的位置關系；（5）求曲線（軌跡）方程。特別是求曲線（軌跡）方程和直線與圓錐曲線的位置關系問題是高考解析幾何問題的熱中之熱。四、強化訓練（一）選擇題
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