數(shù)學(xué)練習(xí)題考試題高考題教案專題5：解析幾何題型與方法文科(編輯修改稿)
2024-09-05 12:33 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 點(diǎn)到直線的距離公式得 …………7分 （II）設(shè)兩漸近線的夾角為， 點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及相關(guān)概念，直線方程、平面向量的坐標(biāo)表示和向量的數(shù)量積，多元二次方程組解法、曲線和方程的關(guān)系、直線與橢圓相交等解析幾何的基礎(chǔ)思想方法，以及分析問題和綜合解題能力。把兩個(gè)向量之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量坐標(biāo)之間的關(guān)系，再通過代數(shù)運(yùn)算的方法來解決有關(guān)向量的問題是一種常用的解題手段。例題8．（江蘇卷）已知，記點(diǎn)P的軌跡為E. （1）求軌跡E的方程； （2）若直線l過點(diǎn)F2且與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn). （i）無論直線l繞點(diǎn)F2怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，在x軸上總存在定點(diǎn)，使恒成立，求實(shí)數(shù)m的值. （ii）過P、Q作直線的垂線PA、OB，垂足分別為A、B，記，求λ的取值范圍.解析：（1）由知，點(diǎn)P的軌跡E是以FF2為焦點(diǎn)的雙曲線右支，由，故軌跡E的方程為 （2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立消y得， 解得k2 3 （i） ， 故得對任意的 恒成立， ∴當(dāng)m ＝－1時(shí)，MP⊥MQ. 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由知結(jié)論也成立， 綜上，當(dāng)m ＝－1時(shí)，MP⊥MQ. （ii）是雙曲線的右準(zhǔn)線， 由雙曲線定義得：， 方法一： ， 注意到直線的斜率不存在時(shí)， 綜上， 方法二：設(shè)直線PQ的傾斜角為θ，由于直線PQ與雙曲線右支有二個(gè)交點(diǎn)， ，過Q作QC⊥PA，垂足為C，則 由 故： 點(diǎn)評：本題考查了雙曲線的第二定義，垂直關(guān)系，韋達(dá)定理和求參數(shù)的范圍．（2）。圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的有機(jī)聯(lián)系。例題9．已知 （1）求點(diǎn)的軌跡C的方程； （2）若直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，并且A、B在y軸的同一側(cè)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍. （3）設(shè)曲線C與x軸的交點(diǎn)為M，若直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)k，使得以AB為直徑的圓恰好過點(diǎn)M？若有，求出k的值；若沒有，寫出理由.解：（1）由 又，故所求的軌跡方程是 （2）設(shè)、把，得 ∵A、B在y軸的同一側(cè)，得到 綜上，得. （3）由（2）得…① …② ……③∵曲線C與x軸交點(diǎn)、若存在實(shí)數(shù)k，符合題意，則不妨取點(diǎn)將①②③式代入上式，整理得到，解得舍去）根據(jù)曲線的對稱性，知存在實(shí)數(shù)，使得以AB為直徑的圓恰好過M點(diǎn)點(diǎn)評：本題是向量，軌跡，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的有機(jī)結(jié)合?？键c(diǎn)六 求范圍例題10．設(shè)直線過點(diǎn)P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點(diǎn)，試求的取值范圍.分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：＝，但從此后卻一籌莫展， 問題的根源在于對題目的整體把握不夠. 事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)（或某幾個(gè)）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系.解：當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，可求得。當(dāng)與x軸不垂直時(shí)，設(shè)，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得解之得 因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)P在y軸上，所以只需考慮的情形.當(dāng)時(shí)，，所以 ＝＝＝.由 ， 解得 ，所以 ，綜上 .點(diǎn)評：范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等. 本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.例題11．已知?jiǎng)狱c(diǎn)與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)、的距離之和為定值，且的最小值為．（１）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程； （２）若已知，、在動(dòng)點(diǎn)的軌跡上且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．分析：為了求參數(shù)的取值范圍，只要列出關(guān)于參數(shù)的不等式，而建立不等式的方法有多種方法，諸如：判別式法、均值不等式法、有界性法等等．解：(１)由題意．設(shè)（），由余弦定理， 得． 又， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， 取最大值，此時(shí)取最小值，令，解得，∴，故所求的軌跡方程為. （２）設(shè)，則由，可得，故. ∵、在動(dòng)點(diǎn)的軌跡上，且，消去可得，解得，又，∴，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．點(diǎn)評：新教材的高考已經(jīng)進(jìn)行了５年，而解析幾何解答試題和向量綜合呈現(xiàn)了新高考的嶄新亮點(diǎn)，體現(xiàn)了向量知識的工具性和廣泛的應(yīng)用性．三、方法總結(jié)與2008年高考預(yù)測（一）方法總結(jié)1．求曲線方程常利用待定系數(shù)法，求出相應(yīng)的a，b，b，c，e的意義及相互關(guān)系，在求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，已知條件常與這些參數(shù)有關(guān). 2．涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離問題，常常要注意運(yùn)用第一定義，而涉及曲線上的點(diǎn)到某一焦點(diǎn)的距離，需要注意的是右焦點(diǎn)與右準(zhǔn)線對應(yīng)，不能弄錯(cuò).3．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，利用數(shù)形結(jié)合法或?qū)⑺鼈兊姆匠探M成的方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式、韋達(dá)定理來求解或證明.4．對于軌跡問題，要根據(jù)已知條件求出軌跡方程，再由方程說明軌跡的位置、形狀、定義法、參數(shù)法、代入法、交軌法等.5．與圓錐曲線有關(guān)的對稱問題，利用中心對稱以及軸對稱的概念和性質(zhì)來求解或證明.（二）2008年高考預(yù)測1．求曲線（軌跡）方程的常用方法（直譯法、定義法、待定系數(shù)法、動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法等）。2．掌握綜合運(yùn)用直線的基礎(chǔ)知識和圓的性質(zhì)，解答直線與圓的位置關(guān)系的思想方法。3．解析幾何是銜接初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的紐帶。直線與圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容，因而成為高考考查的重點(diǎn)。綜觀近幾年的全國和部分省高考數(shù)學(xué)試題，本專題列出高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容有：（1）直線方程；（2）圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）圓錐曲線的幾何性質(zhì)；（4）直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；（5）求曲線（軌跡）方程。特別是求曲線（軌跡）方程和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題是高考解析幾何問題的熱中之熱。四、強(qiáng)化訓(xùn)練（一）選擇題
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