【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 x≥1， x3y≤4， 3x+5y≤30，求目標(biāo)函數(shù)z=2xy的最大值和最小值.解：根據(jù)x、y滿足的約束條件作出可行域，即如圖所示的陰影部分（包括邊界）.作直線：2xy=0，再作一組平行于的直線：2xy=t，t∈R.可知，當(dāng)在的右下方時(shí)，直線上的點(diǎn)（x，y）滿足2xy＞0，即t＞0，而且直線往右平移時(shí)，直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)B，此時(shí)所對(duì)應(yīng)的t最大；當(dāng)在的左上方時(shí)，直線上的點(diǎn)（x，y）滿足2xy＜0，即t＜0，而且直線往左平移時(shí)，直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)C，此時(shí)所對(duì)應(yīng)的t最小. x3y+4=0， 由 解得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，3）； 3x+5y30=0， x=1， 由 解得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，）. 3x+5y30=0，所以，=253=7；=21=.例某運(yùn)輸公司有10輛載重量為6噸的A型卡車與載重量為8噸的B型卡車，，B型卡車7次；每輛卡車每天的成本費(fèi)A型車350元，公司所花的成本費(fèi)最低，最低為多少？解：設(shè)每天派出A型車與B型車各x、y輛，得 x≤10， y≤5， x+y≤11， 48x+56y≥60， x，y∈N，且z=350x+400y. x≤10， y≤5，即 x+y≤11， 6x+7y≥55， x，y∈N，作出可行域，作直線：350x+400y=0，即7x+8y=0.作出一組平行直線：7x+8y=t中（t為參數(shù)）經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)和原點(diǎn)距離最近的直線，此直線經(jīng)過(guò)6x+7y=60和y=5的交點(diǎn)A（，5），由于點(diǎn)A的坐標(biāo)不都是整數(shù)，而x，y∈N，所以可行域內(nèi)的點(diǎn)A（，5）不是最優(yōu)解.為求出最優(yōu)解，必須進(jìn)行定量分析. 因?yàn)椋?+85≈，所以經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的整點(diǎn)（橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）且與原點(diǎn)最小的直線是7x+8y=10，在可行域內(nèi)滿足該方程的整數(shù)解只有x=10，y=0，所以（10，0）是最優(yōu)解，即當(dāng)通過(guò)B點(diǎn)時(shí)，z=35010+4000=3500元為最小.答：每天派出A型車10輛不派B型車，公司所化的成本費(fèi)最低為3500元. 例已知點(diǎn)T是半圓O的直徑AB上一點(diǎn)，AB=OT=t (0t1)，以AB為直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圓于P、Q兩點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.(1)寫出直線的方程； （2）計(jì)算出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)； （3）證明：由點(diǎn)P發(fā)出的光線，經(jīng)AB反射后，反射光線通過(guò)點(diǎn)Q. 解: (1 ) 顯然, 于是 直線的方程為； （2）由方程組 解出 ； （3）, . 由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數(shù)知，由點(diǎn)P發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)T反射，反射光線通過(guò)點(diǎn)Q. 說(shuō)明：需要注意的是, Q點(diǎn)的坐標(biāo)本質(zhì)上是三角中的萬(wàn)能公式, 有趣嗎? 例設(shè)P是圓M：(x5)2+(y5)2=1上的動(dòng)點(diǎn)，它關(guān)于A(9, 0)的對(duì)稱點(diǎn)為Q，把P繞原點(diǎn)依逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90176。到點(diǎn)S，求|SQ|的最值。解：設(shè)P(x, y)，則Q(18x, y)，記P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為x+yi，則S點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為：(x+yi)i=y+xi，即S(y, x)∴其中可以看作是點(diǎn)P到定點(diǎn)B(9, 9)的距離，共最大值為最小值為，則|SQ|的最大值為，|SQ|的最小值為例 已知⊙M：軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點(diǎn)，（1）如果，求直線MQ的方程； （2）求動(dòng)弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程. 解:（1）由，可得由射影定理，得 在Rt△MOQ中， ， 故， 所以直線AB方程是 （2）連接MB，MQ，設(shè)由點(diǎn)M，P，Q在一直線上，得由射影定理得即 把（*）及（**）消去a，并注意到，可得說(shuō)明：適時(shí)應(yīng)用平面幾何知識(shí)，這是快速解答本題的要害所在。 例直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A兩點(diǎn).（1）求證：。 （2）求證：對(duì)于拋物線的任意給定的一條弦CD，直線l不是CD的垂直平分線. 解: （1）易求得拋物線的焦點(diǎn). 若l⊥x軸，則l的方程為.若l不垂直于x軸，可設(shè),代入拋物線方程整理得 . 綜上可知 .（2）設(shè)，則CD的垂直平分線的方程為假設(shè)過(guò)F，則整理得 ，. 這時(shí)的方程為y=0，從而與拋物線只相交于原點(diǎn). 而l與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因此與l不重合，l不是CD的垂直平分線. 說(shuō)明：此題是課本題的深化，課本是高考試題的生長(zhǎng)點(diǎn)，復(fù)習(xí)要重視課本。 例已知橢圓，能否在此橢圓位于y軸左側(cè)的部分上找到一點(diǎn)M，使它到左準(zhǔn)線的距離為它到兩焦點(diǎn)FF2距離的等比中項(xiàng)，若能找到，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，若不能找到，請(qǐng)說(shuō)明理由。 解：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，設(shè)M（x1，y1）a2=4，b2=3，∴a=2，c=1，∴，點(diǎn)M到橢圓左準(zhǔn)線的距離，∴，∴，∴或，這與x1∈[2，0)相矛盾，∴滿足條件的點(diǎn)M不存在。例已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距為4，離心率為，（Ⅰ）求橢圓方程； （Ⅱ）設(shè)橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn)為M，又點(diǎn)A和點(diǎn)B在橢圓上，且M分有向線段所成的比為2，求線段AB所在直線的方程。解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為 由2c=4得c=2 又 故a=3， ∴所求的橢圓方程為（Ⅱ）若k 不存在，則，若k 存在，則設(shè)直線AB的方程為：y=kx+2 又設(shè)A 由 得 ① ②∵點(diǎn)M坐標(biāo)為M（0，2） ∴由∴∴代入①、②得… ③ ④由③、④ 得 ∴ ∴線段AB所在直線的方程為：。說(shuō)明：有向線段所成的比，線段的定比分點(diǎn)等概念，本身就是解析幾何研究的一類重要問(wèn)題。向量概念的引入，使這類問(wèn)題的解決顯得簡(jiǎn)潔而流暢。求解這類問(wèn)題可以用定比分點(diǎn)公式，也可以直接用有向線段的比解題。另外，向量的長(zhǎng)度，點(diǎn)的平移等與解析幾何都有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，向量與解析幾何的結(jié)合，為解決這些問(wèn)題開(kāi)辟了新的解題途徑。例1已知直線l與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)Q，且與x軸、y軸分別交于R、S，求以線段SR為對(duì)角線的矩形ORPS的一個(gè)頂點(diǎn)P的軌跡方程． 解：從直線所處的位置, 設(shè)出直線的方程, 由已知，直線l不過(guò)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，所以設(shè)直線l的方程為代入橢圓方程 得 化簡(jiǎn)后，得關(guān)于的一元二次方程 于是其判別式由已知，得△=0．即 ①在直線方程中，分別令y=0，x=0，求得 令頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）， 由已知，得 代入①式并整理，得 , 即為所求頂點(diǎn)P的軌跡方程．說(shuō)明：方程形似橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程, 你能畫出它的圖形嗎? 例1已知雙曲線的離心率，過(guò)的直線到原點(diǎn)的距離是（1）求雙曲線的方程； （2）已知直線交雙曲線于不同的點(diǎn)C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值. 解：∵（1）原點(diǎn)到直線AB：的距離. 故所求雙曲線方程為 （2）把中消去y，整理得 . 設(shè)的中點(diǎn)是，則 即故所求k=177。.說(shuō)明：為了求出的值, 需要通過(guò)消元, 想法設(shè)法建構(gòu)的方程. 例1過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓3x2+4y2=12相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OAB面積的最大值及此時(shí)直線傾斜角的正切值。 分析：若直接用點(diǎn)斜式設(shè)的方程為，則要求的斜率一定要存在，但在這里的斜率有可能不存在，因此要討論斜率不存在的情形，為了避免討論，我們可以設(shè)直線的方程為，這樣就包含了斜率不存在時(shí)的情形了，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算。 解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），：把代入橢圓方程得：，即，∴，此時(shí) 令直線的傾角為，則即△OAB面積的最大值為，此時(shí)直線傾斜角的正切值為。例1（2003年江蘇高考題）已知常數(shù)，向量經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O以為方向向量的直線與經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（0，a）以為方向向量的直線相交于點(diǎn)P，其中試問(wèn)：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F，使得|PE|+|PF|，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.解：∵=（1，0），=（0，a）， ∴+λ=（λ，a）， －2λ=（1，－2λa）.因此，直線OP和