【正文】 和雙曲線的概念和性質，平面向量的運算等解析幾何的基本思想和綜合解題能力。,直線AM是∠PAQ的角平分線,且M到AQ、（不妨設P在第一象限）直線PQ方程為.直線AP的方程y=x1,∴解得P的坐標是（2+，1+），將P點坐標代入得，所以所求雙曲線方程為即說明：本題主要考查直線、雙曲線方程和性質等基礎知識，考查解析幾何的基本思想方法和在和解題能力。4．（2004年高考福建卷文科（21））如圖，P是拋物線C：y=x2上一點，直線l過點P并與拋物線C在點P的切線垂直，l與拋物線C相交于另一點Q.（Ⅰ）當點P的橫坐標為2時，求直線l的方程；（Ⅱ）當點P在拋物線C上移動時，求線段PQ中點M的軌跡方程，并求點M到x軸的最短距離.解：（Ⅰ）把x=2代入，得y=2， ∴點P坐標為（2，2）.由 ， ① 得， ∴過點P的切線的斜率k切=2，直線l的斜率kl=－= ∴直線l的方程為y－2=－(x－2)，即 x+2y－6=0.（Ⅱ）設∵ 過點P的切線斜率k初=x0，當x0=0時不合題意， ∴ 直線l的斜率kl=－=，直線l的方程為 ②方法一：聯(lián)立①②消去y，得x2+x－x02－2=0. 設Q ∵M是PQ的中點，∴消去x0，得y=x2+(x≠0)就是所求的軌跡方程.由x≠0知上式等號僅當時成立，所以點M到x軸的最短距離是方法二：設Q則由y0=x02，y1=x12，x=∴ y0－y1=x02－x12=(x0+x1)(x0－x1)=x(x0－x1)，∴ ∴將上式代入②并整理，得 y=x2+(x≠0)就是所求的軌跡方程.由x≠0知上式等號僅當時成立，所以點M到x軸的最短距離是說明：本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎知識，求軌跡方程的方法，解析幾何的基本思想和綜合解題能力。（Ⅰ）設l的斜率為1，求與的夾角的大??；（Ⅱ）設，若λ∈[4,9]，求l在y軸上截距的變化范圍.解：（Ⅰ）C的焦點為F（1，0），直線l的斜率為1，所以l的方程為將代入方程，并整理得 設則有 所以夾角的大小為（Ⅱ）由題設 得 ①②即由②得， ∵ ∴③聯(lián)立①、③解得，依題意有∴又F（1，0），得直線l方程為 當時，l在方程y軸上的截距為由 可知在[4，9]上是遞減的，∴ 直線l在y軸上截距的變化范圍為說明：本題主要考查拋物線的性質，直線與拋物線的關系以及解析幾何的基本方法、思想和綜合解題能力。分析：滿足兩個條件才能確定一條直線。解法一：先用“平行”這個條件設出l 的方程為3x+4y+m=0①再用“面積”條件去求m，∵直線l交x軸于，交y軸于由，得，代入①得所求直線的方程為：解法二：先用面積這個條件列出l的方程，設l在x軸上截距離a，在y軸上截距b，則有，因為l的傾角為鈍角，所以a、b同號，|ab|=ab，l的截距式為，即48x+a2y48a=0②又該直線與3x+4y+2=0平行，∴，∴代入②得所求直線l 的方程為說明：與直線Ax+By+C=0平行的直線可寫成Ax+By+C1=0的形式；與Ax+By+C=0垂直的直線的方程可表示為BxAy+C2=0的形式。解：直線mx+y+2=0過一定點C(0, 2)，直線mx+y+2=0實際上表示的是過定點(0, 2)的直線系，因為直線與線段AB有交點，則直線只能落在∠ABC的內部，設BC、CA這兩條直線的斜率分別為kk2，則由斜率的定義可知，直線mx+y+2=0的斜率k應滿足k≥k1或k≤k2， ∵A(2, 3) B(3, 2) ∴∴m≥或m≤ 即m≤或m≥說明：此例是典型的運用數形結合的思想來解題的問題，這里要清楚直線mx+y+2=0的斜率m應為傾角的正切，而當傾角在(0176。)或(90176。)內，角的正切函數都是單調遞增的，因此當直線在∠ACB內部變化時，k應大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，當A、B兩點的坐標變化時，也要能求出m的范圍。到點S，求|SQ|的最值。i=y+xi，即S(y, x)∴其中可以看作是點P到定點B(9, 9)的距離，共最大值為最小值為，則|SQ|的最大值為，|SQ|的最小值為例 已知⊙M：軸上的動點，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點，（1）如果，求直線MQ的方程； （2）求動弦AB的中點P的軌跡方程. 解:（1）由，可得由射影定理，得 在Rt△MOQ中， ， 故， 所以直線AB方程是 （2）連接MB，MQ，設由點M，P，Q在一直線上，得由射影定理得即 把（*）及（**）消去a，并注意到，可得說明：適時應用平面幾何知識，這是快速解答本題的要害所在。 （2）求證：對于拋物線的任意給定的一條弦CD，直線l不是CD的垂直平分線. 解: （1）易求得拋物線的焦點. 若l⊥x軸，則l的方程為.若l不垂直于x軸，可設,代入拋物線方程整理得 . 綜上可知 .（2）設，則CD的垂直平分線的方程為假設過F，則整理得 ，. 這時的方程為y=0，從而與拋物線只相交于原點. 而l與拋物線有兩個不同的交點，因此與l不重合，l不是CD的垂直平分線. 說明：此題是課本題的深化，課本是高考試題的生長點，復習要重視課本。 解：假設存在滿足條件的點，設M（x1，y1）a2=4，b2=3，∴a=2，c=1，∴，點M到橢圓左準線的距離，∴，∴，∴或，這與x1∈[2，0)相矛盾，∴滿足條件的點M不存在。解：（Ⅰ）設橢圓方程為 由2c=4得c=2 又 故a=3， ∴所求的橢圓方程為（Ⅱ）若k 不存在，則，若k 存在，則設直線AB的方程為：y=kx+2 又設A 由 得 ① ②∵點M坐標為M（0，2） ∴由∴∴代入①、②得… ③ ④由③、④ 得 ∴ ∴線段AB所在直線的方程為：。向量概念的引入，使這類問題的解決顯得簡潔而流暢。另外，向量的長度，點的平移等與解析幾何都有著千絲萬縷的聯(lián)系，向量與解析幾何的結合，為解決這些問題開辟了新的解題途徑。.說明：為了求出的值, 需要通過消元, 想法設法建構的方程. 例1過點作直線與橢圓3x2+4y2=12相交于A、B兩點，O為坐標原點，求△OAB面積的最大值及此時直線傾斜角的正切值。 解：設A（x1，y1），B（x2，y2），：把代入橢圓方程得：，即，∴，此時 令直線的傾角為，則即△OAB面積的最大值為，此時直線傾斜角的正切值為。求解此類問題的關鍵是：根據直線的方向向量得出直線方程，再轉化為解析幾何問題解決。（1）求橢圓的離心率e；（2）設Q是橢圓上任意一點， 、分別是左、右焦點，求∠ 的取值范圍；解：（1）∵，∴。（2）設當且僅當時，cosθ=0，∴θ。求解此類問題的關鍵是：正確理解向量共線與解析幾何中平行、三點共線等的關系，把有關向量的問題轉化為解析幾何問題。 解： 橢圓離心率為，所以橢圓方程為，設方程為：，由消去得 ……（1） ……（2） 所以而所以 所以……（3）又， 從而……（4） 由（1）（2）（4）得……（5）由（3）（5）解得， 適合，所以所求直線方程為：或；橢圓C的方程為說明：向量數量積的坐標表示，構建起向量與解析幾何的密切關系，使向量與解析幾何融為一體。體現了向量的工具性。直線l過左焦點F1與橢圓交于A、B兩點，△ABF2的面積最大值為12． （1）求橢圓C的離心率； （2）求橢圓C的方程． 解法一：（1）設, 對 由余弦定理, 得 ， 解出 （2）考慮直線的斜率的存在性，可分兩種情況： i) 當k存在時，設l的方程為………………① 橢圓方程為 由 得 .于是橢圓方程可轉化為 ………………②將①代入②，消去得 ,整理為的一元二次方程，得 .則xx2是上述方程的兩根．且，AB邊上的高 ii) 當k不存在時，把直線代入橢圓方程得 由①②知S的最大值為 由題意得=12 所以 故當△ABF2面積最大時橢圓的方程為： 解法二：設過左焦點的直線方程為：…………①橢圓的方程為：由得：于是橢圓方程可化為：……②把①代入②并整理得：于是是上述方程的兩根.,AB邊上的高,從而 當且僅當m=0取等號，即 由題意知, 于是 . 故當△ABF2面積最大時橢圓的方程為： 例1（2002年天津高考題）已知兩點M（1，0），N（1，0）且點P使成公差小于零的等差數列，