江蘇省專轉(zhuǎn)本高數(shù)全部知識(shí)點(diǎn)第一講：極限、洛比塔法則第五講-利用導(dǎo)數(shù)證明不等式及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(編輯修改稿)
2024-09-01 20:04 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ?( 0 ) 0f ? ?令 得 到 唯 一 的 駐 點(diǎn) 0210 , ( 0 ) | 1 01 xxf x ???? ? ? ??0 , ( ) ( 0 ) 0 ,x f x f? ? ? ?是 極 小 值 221 l n ( 1 ) 1 0x x x x? ? ? ? ? ? ?2222( 1 )1( ) l n ( 1 )( 1 ) 1xxxxf x x xx x x??? ? ? ? ? ?? ? ?30 利用函數(shù)的極值與最值 例 3 對(duì)任意實(shí)數(shù) x,證明不等式 22 1)1l n(1 xxxx ?????22: ( ) 1 l n ( 1 ) 1 , ( 0 ) 0f x x x x x f? ? ? ? ? ? ?證 明 設(shè) 則(2)證明某些等式 利用導(dǎo)數(shù)證明等式常用 10羅爾定理 (要證明某個(gè)函數(shù)或 一個(gè)式子等于 0或其導(dǎo)數(shù)等于 0時(shí) ).20拉格朗日定理 . 若函數(shù)f(x)有一二階導(dǎo)數(shù) ,而要證 的等式的兩端含有 f(x)的函數(shù)值 ,特別是 f(x)的表達(dá)式不知道時(shí) ,或等式中含有 f(x)的導(dǎo)數(shù)時(shí) ,常用拉格朗日中值定理證 . 關(guān)鍵是建立輔助函數(shù) : 通常用移項(xiàng) (把等式一端的項(xiàng)全移 到另一端 ) 或把等式變形 ,或變形后再移項(xiàng)或變形后用逆推的方法 . (3).證明方程的根的存在性與個(gè)數(shù) 方程的根可以看成函數(shù)的零點(diǎn) ,為了利用函數(shù)的連續(xù)性質(zhì) 及導(dǎo)數(shù)理論 ,通常把方程的根的討論轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)討 論 .關(guān)于方程根的證明 ,主要有兩種情況 (1)證明方程在某區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)或幾個(gè)根 l n 2 0 ( 0 , )x xe ? ? ? ? ?證 明 方 程 在 區(qū) 間 內(nèi) 至 少 有 兩 個(gè) 實(shí) 根例 4 由介值定理可知道 f(x)在 (0,e)(e,+∞)內(nèi)各有一個(gè)根 . x y Y=lnx 1 : ( ) l n 2 , ( ) ( 0 , )x
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