極大值與極小值(編輯修改稿)
2025-09-01 19:09 本頁面
【文章內容簡介】 ＝ 3 x2＋ 2 x － 5 ＝ (3 x ＋ 5) ( x － 1) ， 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x 1 ＝－53， x 2 ＝ 1 ， ∴ x 1 ＝－53和 x 2 ＝ 1 是 f ( x ) 可能的極值點． 列表如下： x － 1 (1，＋ ∞ ) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 極 大值 f 極小值 f(1) ??????－ 53 ??????－ 53， 1 ????????－ ∞ ，－ 53 由上表可以看出： f????????－53＝4027是函數的極大值， f (1) ＝－ 8 是函數的極小值． 【名師點評】 求函數的極值的一般步驟為： ①求函數 y＝ f(x)的導數 f′ (x)； ② 令 f′ (x)＝ 0，解方程 f′ (x)＝ 0； ③ 列表格討論導函數的正負和原函數的增減性； ④ 根據極值的定義求出極值． 變式訓練 1 設函數 f(x)＝ sinx－ cosx＋ x＋ 1,0x2π,求函數 f(x)的單調區(qū)間與極值 ． 解： 由 f ( x ) ＝ s i n x － c os x ＋ x ＋ 1, 0 x 2π ， 知 f ′ ( x ) ＝ c os x ＋ s i n x ＋ 1 ， 于是 f ′ ( x ) ＝ 1 ＋ 2 s i n ( x ＋π4) ． 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，從而 s i n ( x ＋π4) ＝－22， 得 x ＝ π ，或 x ＝3π2. 當 x變化時， f′ (x)， f(x)的變化情況如下表： 因此，由上表知 f ( x ) 的單調遞增區(qū)間是 (0 ， π) 與 (3π2，2π) ，單調遞減區(qū)間是 (π ，3π2) ，極小值為 f (3π2) ＝3π2，極大值為 f ( π) ＝ π ＋ 2. 極值的逆用 本類問題主要是研究已知函數極值點 (極值 )的情況 ， 逆向求參數范圍的問題 ． (本題滿分 14分 )已知 f(x)＝ x3＋ 3ax2＋ bx＋a2在 x＝－ 1時有極值 a、 b的值． 【思路點撥】 解答本題可先求 f′ (x)，利用 x＝－ 1時有極值 0這一條件建立關于 a、 b的方程組．解方程組可得 a、 b的值，最后將 a、 b代入原函數驗證極值情況． 例 2 【規(guī)范解答】 ∵ f ( x ) 在 x ＝－ 1 時有極值 0 且 f ′ ( x )＝ 3 x2＋ 6 ax ＋ b ， ∴??? f ′ ?－ 1 ?＝ 0f ?－ 1 ?＝ 0，即??? 3 － 6 a ＋ b ＝ 0－ 1 ＋ 3 a － b ＋ a2＝ 0， 4 分 解得??? a ＝ 1b ＝ 3或??? a ＝ 2b ＝ 9.6 分
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