極大值與極小值(文件)
【正文】 f (x0)是極大值或是極小值？ 左正右負(fù)為極大，右正左負(fù)為極小 1．函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的極大值一定比極小值大嗎？ 提示： 函數(shù)的極大值與極小值間無必然的大小關(guān)系 . 如圖所示，盡管 x2， x4均為極小值點(diǎn)，但 f(x2)f(x4), 有時(shí) y＝ f(x)的極小值反比極大值大，如圖中f(x4)f(x1)． 2．導(dǎo)數(shù)為 0的點(diǎn)都是極值點(diǎn)嗎？ 提示： 不一定． y＝ f(x)在 x＝ x0及附近有定義，且f′ (x0)＝ 0， y＝ f(x)是否在 x＝ x0處取得極值，還要看 f′ (x)在 x0兩側(cè)的符號(hào)是否異號(hào)．如 f(x)＝ x3，由f′ (x)＝ 3x2知 f′ (0)＝ 0，但 x＝ 0不是 f(x)＝ x3的極值點(diǎn)． (1)函數(shù) f(x)在點(diǎn) x0及其附近有定義是指在點(diǎn) x0及其左 、 右鄰域都有意義． (2)按定義 ， 極值點(diǎn) xi是區(qū)間 [a， b]內(nèi)部的點(diǎn)(如圖 )， 不會(huì)是端點(diǎn) a， b. 1． 函數(shù)極值概念的理解 (3)若 f(x)在 (a， b)內(nèi)有極值 ， 那么 f(x)在 (a， b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù) ， 即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值． (4)極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系 ， 即極大值不一定比極小值大 ， 極小值不一定比極大值?。? (5)不可導(dǎo)函數(shù)也可能有極值點(diǎn) (例如函數(shù) y＝ |x|，它在點(diǎn) x＝ 0處不可導(dǎo) ， 但 x＝ 0是函數(shù)的極小值點(diǎn) )， 即函數(shù) f(x)在極值點(diǎn)處不一定存在導(dǎo)數(shù)． (6)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是它導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn) ， 反之 ， 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是該函數(shù)的極值點(diǎn) ， 因此導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)僅是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件 ， 其充分條件是這點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)． (7)函數(shù) f(x)在 [a， b]上有極值的話 ， 它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的 ， 如上圖 ， 相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值點(diǎn) ， 同樣 ， 相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn)．一般地 ， 當(dāng)函數(shù) f(x)在 [a， b]上連續(xù)且有有限個(gè)極值點(diǎn)時(shí) ， 函數(shù) f(x)在 [a， b]內(nèi)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的． 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值時(shí)，常列表判斷導(dǎo)數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)的符號(hào)，若在零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，則該零點(diǎn)是極值點(diǎn)；若在零點(diǎn)兩側(cè)符號(hào)無變化，則該零點(diǎn)不是極值點(diǎn)． 求函數(shù) f(x)＝ x3＋ x2－ 5x－ 5的極值． 例 1 【 思路點(diǎn)撥 】 先求原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) f′ (x)， 并令 f′ (x)＝ 0， 求其極值點(diǎn) ， 再根據(jù)極值的定義列表 ， 即可求極值 ． 【解】 f ′ ( x ) ＝ 3 x2＋ 2 x － 5 ＝ (3 x ＋ 5) ( x － 1) ， 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x 1 ＝－53， x 2 ＝ 1 ， ∴ x 1 ＝－53和 x 2 ＝ 1 是 f ( x ) 可能的極值點(diǎn)． 列表如下： x － 1 (1，＋ ∞ ) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 極 大值 f 極小值 f(1) ??????－ 53 ??????－ 53， 1
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