極大值與極小值-文庫吧在線文庫
【正文】 ( x ＋π4) ． 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，從而 s i n ( x ＋π4) ＝－22， 得 x ＝ π ，或 x ＝3π2. 當 x變化時， f′ (x)， f(x)的變化情況如下表： 因此，由上表知 f ( x ) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 (0 ， π) 與 (3π2，2π) ，單調(diào)遞減區(qū)間是 (π ，3π2) ，極小值為 f (3π2) ＝3π2，極大值為 f ( π) ＝ π ＋ 2. 極值的逆用 本類問題主要是研究已知函數(shù)極值點 (極值 )的情況 ， 逆向求參數(shù)范圍的問題 ． (本題滿分 14分 )已知 f(x)＝ x3＋ 3ax2＋ bx＋a2在 x＝－ 1時有極值 a、 b的值． 【思路點撥】 解答本題可先求 f′ (x)，利用 x＝－ 1時有極值 0這一條件建立關于 a、 b的方程組．解方程組可得 a、 b的值，最后將 a、 b代入原函數(shù)驗證極值情況． 例 2 【規(guī)范解答】 ∵ f ( x ) 在 x ＝－ 1 時有極值 0 且 f ′ ( x )＝ 3 x2＋ 6 ax ＋ b ， ∴??? f ′ ?－ 1 ?＝ 0f ?－ 1 ?＝ 0，即??? 3 － 6 a ＋ b ＝ 0－ 1 ＋ 3 a － b ＋ a2＝ 0， 4 分 解得??? a ＝ 1b ＝ 3或??? a ＝ 2b ＝ 9.6 分 當 a ＝ 1 ， b ＝ 3 時， f ′ ( x ) ＝ 3 x2＋ 6 x ＋ 3 ＝ 3( x ＋ 1)2≥ 0 ， 所以 f ( x ) 在 R 上為增函數(shù)，無極值，故舍去 .8 分 當 a ＝ 2 ， b ＝ 9 時， f ′ ( x ) ＝ 3 x2＋ 12 x ＋ 9 ＝ 3( x ＋ 1) ( x ＋ 3) ． 當 x ∈ ( － ∞ ，－ 3) 時， f ( x ) 為增函數(shù)； 當 x ∈ ( － 3 ，－ 1) 時， f ( x ) 為減函數(shù)； 當 x ∈ ( － 1 ，＋ ∞ ) 時 f ( x ) 為增函數(shù) . 10 分 所以 f ( x ) 在 x ＝－ 1 時取得極小值， 12 分 因此 a ＝ 2 ， b ＝ 9. 1 4 分 【 名師點評 】 已知函數(shù)極值情況，逆向應用確定函數(shù)的解析式，進而研究函數(shù)性質(zhì)時，注意兩點： (1)常根據(jù)極值點導數(shù)為 0和極值兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解． (2)因為導數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性． 變式訓練 2 已知函數(shù) f(x)＝ x3－ 3ax2＋ 2bx在點x＝ 1處有極小值－ 1，試確定 a、 b的值，并求出f(x)的單調(diào)區(qū)間． 解： 由已知，得 f (1) ＝ 1 － 3 a ＋ 2 b ＝－ 1 ， ①
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