【文章內容簡介】 中一個位置上,有種不同的“插入”方法根據(jù)乘法原理共有＝720種不同的排法所以共有720個符合條件的七位數(shù)解（2）：因為三個偶數(shù)２、４、６ 互不相鄰，所以要得到符合條件的七位數(shù)可以分為如下兩步：第一步將１、３、５、７四個數(shù)字排好，有 種不同的排法；第二步將２、４、６分別“插入”到第一步排的四個數(shù)字的五個“間隙”（包括兩端的兩個位置）中的三個位置上，有 種“插入”方法根據(jù)乘法原理共有＝1440種不同的排法所以共有1440個符合條件的七位數(shù)例２ 將Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三組，共有多少種不同的分法？解：要將Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三組，可以分為三類辦法：（１－１－４）分法、（１－２－３）分法、（２－２－２）分法下面分別計算每一類的方法數(shù)：第一類（１－１－４）分法，這是一類整體不等分局部等分的問題，可以采用兩種解法解法一：從六個元素中取出四個不同的元素構成一個組，余下的兩個元素各作為一個組，有種不同的分法解法二：從六個元素中先取出一個元素作為一個組有 種選法，再從余下的五個元素中取出一個元素作為一個組有 種選法，最后余下的四個元素自然作為一個組，由于第一步和第二步各選取出一個元素分別作為一個組有先后之分，產(chǎn)生了重復計算，應除以所以共有 ＝15種不同的分組方法 第二類（１－２－３）分法，這是一類整體和局部均不等分的問題，首先從六個不同的元素中選取出一個元素作為一個組有 種不同的選法，再從余下的五個不同元素中選取出兩個不同的元素作為一個組有 種不同的選法，余下的最后三個元素自然作為一個組，根據(jù)乘法原理共有＝60種不同的分組方法 第三類（２－２－２）分法，這是一類整體“等分”的問題，首先從六個不同元素中選取出兩個不同元素作為一個組有 種不同的取法，再從余下的四個元素中取出兩個不同的元素作為一個組有種不同的取法，最后余下的兩個元素自然作為一個組由于三組等分存在先后選取的不同的順序，所以應除以 ，因此共有 ＝15種不同的分組方法 根據(jù)加法原理，將Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ六個元素分成三組共有：15＋60＋15＝90種不同的方法例３ 一排九個坐位有六個人坐，若每個空位兩邊都坐有人，共有多少種不同的坐法？解：九個坐位六個人坐，空了三個坐位，每個空位兩邊都有人，等價于三個空位互不相鄰，可以看做將六個人先依次坐好有種不同的坐法，再將三個空坐位“插入”到坐好的六個人之間的五個“間隙”（不包括兩端）之中的三個不同的位置上有種不同的“插入”方法根據(jù)乘法原理共有 ＝7200種不同的坐法小結 ：⑴ｍ個不同的元素必須相鄰，有 種“捆綁”方法⑵ｍ個不同元素互不相鄰，分別“插入”到ｎ個“間隙”中的ｍ個位置有 種不同的“插入”方法⑶ｍ個相同的元素互不相鄰，分別“插入”到ｎ個“間隙”中的ｍ個位置，有 種不同的“插入”方法⑷若干個不同的元素“等分”為 ｍ個組,要將選取出每一個組的組合數(shù)的乘積除以 排列組合問題的解題策略一、相臨問題——捆綁法例1．7名學生站成一排，甲、乙必須站在一起有多少不同排法？解：兩個元素排在一起的問題可用“捆綁”法解決，先將甲乙二人看作一個元素與其他五人進行排列，并考慮甲乙二人的順序，所以共有 種。評注：一般地: 個人站成一排,其中某 個人相鄰,可用“捆綁”法解決，共有 種排法。二、不相臨問題——選空插入法例2． 7名學生站成一排，甲乙互不相鄰有多少不同排法？解：甲、乙二人不相鄰的排法一般應用“插空”法，所以甲、乙二人不相鄰的排法總數(shù)應為： 種 .評注：若 個人站成一排，其中 個人不相鄰，可用“插空”法解決，共有 種排法。三、復雜問題——總體排除法在直接法考慮比較難，或分類不清或多種時，可考慮用“排除法”，解決幾何問題必須注意幾何圖形本身對其構成元素的限制。例3.(1996年全國高考題)正六邊形的中心和頂點共7個點，以其中3個點為頂點的三角形共有多少個.解：從7個點中取3個點的取法有 種，但其中正六邊形的對角線所含的中心和頂點三點共線不能組成三角形，有3條，所以滿足條件的三角形共有 －3＝32個.四、特殊元素——優(yōu)先考慮法 對于含有限定條件的排列組合應用題，可以考慮優(yōu)先安排特殊位置，然后再考慮其他位置的安排。 例4． (1995年上海高考題) 1名老師和4名獲獎學生排成一排照像留念，若老師不排在兩端，則共有不同的排法 種．解：先考慮特殊元素（老師）的排法，因老師不排在兩端，故可在中間三個位置上任選一個位置，有 種，而其余學生的排法有 種，所以共有 ＝72種不同的排法.例5．（2000年全國高考題）乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員，派5名隊員參加比賽，3名主力隊員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場安排共有 種.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力隊員，有 種排法，而其余7名隊員選出2名安排在第二、四位置，有 種排法，所以不同的出場安排共有 ＝252種.五、多元問題——分類討論法對于元素多，選取情況多，可按要求進行分類討論，最后總計。例6．（2003年北京春招）某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，那么不同插法的種數(shù)為（A ） A．42 B．30 C．20 D．12解：增加的兩個新節(jié)目，可分為相臨與不相臨兩種情況：：共有A62種；：共有A22A61種。故不同插法的種數(shù)為：A62 +A22A61=42 ，故選A。例7．（2003年全國高考試題）如圖， 一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有多少種？（以數(shù)字作答）解：區(qū)域1與其他四個區(qū)域相鄰，而其他每個區(qū)域都與三個區(qū)域相鄰，因此，可以涂三種或四種顏色． 用三種顏色著色有 =24種方法, 用四種顏色著色有 =48種方法,從而共有24+48=72種方法,應填72.六、混合問題——先選后排法對于排列組合的混合應用題，可采取先選取元素，后進行排列的策略． 例8．（2002年北京高考）12名同學分別到三個不同的路口進行車流量的調查，若每個路口4人，則不同的分配方案共有（ ） A． 種 B． 種 C． 種 D． 種解：本試題屬于均分組問題。 則12名同學均分成3組共有 種方法,分配到三個不同的路口的不同的分配方案共有： 種，故選A。例9．（2003年北京高考試題）從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法共有（ ） A．24種 B．18種 C．12種 D．6種 解:先選后排,分步實施. 由題意，不同的選法有: C32種,不同的排法有: A31A22,故不同的種植方法共有A31C32A22=12，故應選C. 七．相同元素分配——檔板分隔法例10．把10本相同的書發(fā)給編號為3的三個學生閱覽室，每個閱覽室分得的書的本數(shù)不小于其編號數(shù)，試求不同分法的種數(shù)。請用盡可能多的方法求解，并思考這些方法是否適合更一般的情況？本題考查組合問題。解：先讓3號閱覽室依次分得1本書、2本書；再對余下的7本書進行分配，保證每個閱覽室至少得一本書，這相當于在7本相同書之間的6個“空檔”內插入兩個相同“I”（一般可視為“隔板”）共有 種插法，即有15種分法?？傊?，排列、組合應用題的解題思路可總結為：排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類為加，分步為乘。具體說，解排列組合的應用題，通常有以下途徑：（1）以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素。（2）以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置。（3）先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不合要求的排列組合數(shù)。排列組合問題的解題方略湖北省安陸市第二高級中學 張征洪排列組合知識，廣泛應用于實際，掌握好排列組合知識，能幫助我們在生產(chǎn)生活中，解決許多實際應用問題。同時排列組合問題歷來就是一個老大難的問題。因此有必要對排列組合問題的解題規(guī)律和解題方法作一點歸納和總結，以期充分掌握排列組合知識。首先，談談排列組合綜合問題的一般解題規(guī)律:1）使用“分類計數(shù)原理”還是“分步計數(shù)原理”要根據(jù)我們完成某件事時采取的方式而定，可以分類來完成這件事時用“分類計數(shù)原理”，需要分步來完成這件事時就用“分步計數(shù)原理”；那么，怎樣確定是分類，還是分步驟？“分類”表現(xiàn)為其中任何一類均可獨立完成所給的事件，而“分步”必須把各步驟均完成才能完成所給事件，所以準確理解兩個原理強調完成一件事情的幾類辦法互不干擾，相互獨立，彼此間交集為空集，并集為全集，不論哪類辦法都能將事情單獨完成，分步計數(shù)原理強調各步驟缺一不可，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，步與步之間互不影響，即前步用什么方法不影響后面的步驟采用的方法。 2）排列與組合定義相近，它們的區(qū)別在于是否與順序有關。3）復雜的排列問題常常通過試驗、畫 “樹圖 ”、“框圖”等手段使問題直觀化，從而尋求解題途徑，由于結果的正確性難于檢驗，因此常常需要用不同的方法求解來獲得檢驗。4）按元素的性質進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)性進行分步是處理排列組合問題的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制詞的意義。5）處理排列、組合綜合問題，一般思想是先選元素（組合），后排列，按元素的性質進行“分類”和按事件的過程“分步”，始終是處理排列、組合問題的基本原理和方法，通過解題訓練要注意積累和掌握分類和分步的基本技能，保證每步獨立，達到分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏。6）在解決排列組合綜合問題時，必須深刻理解排列組合的概念，能熟練地對問題進行分類，牢記排列數(shù)與組合數(shù)公式與組合數(shù)性質，容易產(chǎn)生的錯誤是重復和遺漏計數(shù)?？傊?，解決排列組合問題的基本規(guī)律，即：分類相加，分步相乘，排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；正難則反，間接排除等。其次，我們在抓住問題的本質特征和規(guī)律，靈活運用基本原理和公式進行分析解答的同時，還要注意講究一些解題策略和方法技巧，使一些看似復雜的問題迎刃而解。下面介紹幾種常用的解題方法和策略。一．特殊元素（位置）的“優(yōu)先安排法”：對于特殊元素（位置）的排列組合問題，一般先考慮特殊，再考慮其他。例 用0，2，3，4，5，五個數(shù)字，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（ ）。 A． 24個 [分析]由于該三位數(shù)為偶數(shù)，故末尾數(shù)字必為偶數(shù)，又因為0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，應該優(yōu)先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分兩類：1）0排末尾時，有A42個，2）0不排在末尾時，則有C21 A31A31個，由分數(shù)計數(shù)原理，共有偶數(shù)A42 + C21 A31A31=30個，選B。二．總體淘汰法：對于含否定的問題，還可以從總體中把不合要求的除去。如例1中，也可用此法解答:五個數(shù)