【文章內容簡介】 容易些，為此有P(A)=1P( ).，則 與 ，A與 ， (AB)=P(A)?P(B)是否成立.　古典概型典例精析題型一　古典概率模型的計算問題【例1】一汽車廠生產A、B、C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號，某月的產量如下表(單位：輛)，轎車A 轎車B 轎車C舒適型 100 150 z標準型 300 450 600現按分層抽樣的方法在這個月生產的轎車中抽取50輛，其中有A類10輛.(1)求z的值。(2)用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本，將該樣本視為一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率。(3)用隨機抽樣方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經檢測它們的得分如下：,,，從中任取一個數，.【解析】(1)依題意知，從每層抽取的比率為140，從而轎車的總數為5040=2 000輛，所以z=2 000100150300450600=400.(2)由(1)知C類轎車共1 000輛，又樣本容量為5，故抽取的比率為1200，即5輛轎車中有2輛舒適型、3輛標準型，任取2輛，一共有n=10種不同取法，記事件A：至少有1輛舒適型轎車，則事件 表示抽取到2輛標準型轎車，有m′=3種不同取法，從而事件A包含：基本事件數為m=7種，所以P(A)=710.(3)樣本平均數 =18(+++++++)=，記事件B：從樣本中任取一數，則事件B包含的基本事件有6種，所以P(B)=68=34.【點撥】利用古典概型求事件的概率時，主要弄清基本事件的總數，及所求事件所含的基本事件的個數.【變式訓練1】已知△ABC的三邊是10以內(不包含10)的三個連續(xù)的正整數，求任取一個△ABC是銳角三角形的概率.【解析】依題意不妨設a=n1，b=n，c=n+1(n1，n∈N)，從而有a+bc，即n2，所以△ABC的最小邊為2，要使△ABC是銳角三角形，只需△ABC的最大角C是銳角，cos C=(n1)2+n2(n+1)22(n1)n=n42(n1)0，所以n4，所以，要使△ABC是銳角三角形，△，從{2,3,4，…，9}中，“任取三個連續(xù)正整數”共有6種基本情況，“△ABC是銳角三角形”包含4種情況，故所求的概率為46=23.題型二　有放回抽樣與不放回抽樣【例2】 現有一批產品共有10件，其中8件為正品，2件為次品.(1)如果從中取出一件，然后放回，再取一件，求連續(xù)3次取出的都是正品的概率。(2)如果從中一次取3件，求3件都是正品的概率.【解析】(1)有放回地抽取3次，按抽取順序(x，y，z)記錄結果，則x，y，z都有10種可能，所以試驗結果有101010=103種。設事件A為“連續(xù)3次都取正品”，則包含的基本事件共有888=83 種，因此，P(A)= =.(2)方法一：可以看作不放回抽樣3次，順序不同，基本事件不同，按抽取順序記錄(x，y，z)，則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，所以試驗的所有結果為1098=“3件都是正品”，則事件B包含的基本事件總數為876=336， 所以P(B)=336720≈.方法二：可以看作不放回3次無順序抽樣，先按抽取順序(x，y，z)記錄結果，則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，但(x，y，z)，(x，z，y)，(y，x，z)，(y，z，x)，(z，x，y)，(z，y，x)是相同的，所以試驗的所有結果有1098247。6=，事件B包含的基本事件個數為876247。6=56，因此P(B)=56120≈.【點撥】關于不放回抽樣，計算基本事件個數時，既可以看作是有順序的，也可以看作是無順序的，其結果是一樣的，但不論選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否則會導致錯誤.【變式訓練2】有5張卡片，上面分別寫有0,1,2,3,：(1)從中任取兩張卡片，兩張卡片上的數字之和等于4的概率。(2)從中任取兩次卡片，每次取一張，第一次取出卡片，記下數字后放回，再取第二次，兩次取出的卡片上的數字之和恰好等于4的概率.【解析】(1)兩張卡片上的數字之和等于4的情形共有4種，任取兩張卡片共有10種，所以概率為P=410=25。(2)兩張卡片上的數字之和等于4的情形共有5種，任取兩張卡片共有25種，所以概率為P=525=15.題型三　古典概型問題的綜合應用【例3】 甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個紅球，2個白球。乙袋裝有2個紅球，、乙兩袋中各任取2個球.(1)若n=3，求取到的4個球全是紅球的概率。(2)若取到的4個球中至少有2個紅球的概率為34，求n.【解析】(1)記“取到的4個球全是紅球”為事件A，P(A)=C22C24?C22C25=16110=160.(2)記“取到的4個球至多有1個紅球”為事件B，“取到的4個球只有1個紅球”為事件B1，“取到的4個球全是白球”為事件B2.由題意，得P(B)=134=14.P(B1)=C12C12C24?C2nC2n+2+C22C24?C12C1nC2n+2=2n23(n+2)(n+1)，P(B2)=C22C24?C2nC2n+2=n(n1)6(n+2)(n+1).所以P(B)=P(B1)+P(B2)=2n23(n+2)(n+1)+n(n1)6(n+2)(n+1)=14，化簡得7n211n6=0，解得n=2或n=37(舍去)，故n=2.【變式訓練3】甲、乙二人參加普法知識競賽，共有10道不同的題目，其中選擇題6道，判斷題4道，甲、乙二人一次各抽取一題.(1)甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率是多少?(2)甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的概率是多少?【解析】(1)甲從選擇題中抽到一題的可能結果有C16個，乙從判斷題中抽到一題的的可能結果是C 14，故甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的可能結果為C16C14=、乙二人一次各抽取一題的結果有C110C19=90，所以概率為2490=415.(2)甲、乙二人一次各抽取一題基本事件的總數是109=90.方法一：(分類計數原理)①只有甲抽到了選擇題的事件數是：64=24。②只有乙抽到了選擇題的事件數是：64=24。③甲、乙同時抽到選擇題的事件數是：65=30.故甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的概率是24+24+3090=1315.方法二：(利用對立事件)事件“甲、乙二人至少有一個抽到選擇題”與事件“甲、乙兩人都未抽到選擇題”是對立事件.事件“甲、乙兩人都未抽到選擇題”的基本事件個數是43=12.故甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的概率是11290=1215=1315.總結提高：①對于每個隨機試驗來說，所有可能出現的試驗結果數n必須是有限個。②①、②的條件下，運用的古典概型計算公式P(A)=(A)=mn計算時，確定m、n的數值是關鍵所在.，A2，…，An，其加法公式為P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)..，能否把一個復雜事件分解為若干個互相排斥或相互獨立、既不重復又不遺漏的簡單事件是解答這類應用題的關鍵，也是考查學生分析問題、解決問題的能力的重要環(huán)節(jié).　幾何概型典例精析題型一　長度問題【例1】如圖，∠AOB=60176。，OA=2，OB=5，在線段OB上任取一點C，試求：(1)△AOC為鈍角三角形的概率。(2)△AOC為銳角三角形的概率.【解析】如圖，由平面幾何知識知：當AD⊥OB時，OD=1。當OA⊥AE時，OE=4，BE=1.(1)當且僅當點C在線段OD或BE上時，△AOC為鈍角三角形.記“△AOC為鈍角三角形”為事件M，則P(M)=OD+EBOB=1+15=，即△.(2)當且僅當點C在線段DE上時，△AOC為銳角三角形.記“△AOC為銳角三角”為事件N，則P(N)=DEOB=35=，即△.【點撥】我們把每一個事件理解為從某個特定的區(qū)域內隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣，而一個事件發(fā)生則理解為恰好在上述區(qū)域內的某個指定的區(qū)域內的點，這樣的概率模型就可以用幾何概型求解.【變式訓練1】點A為周長等于3的圓周上的一個定點，若在該圓周上隨機取一點B，則劣弧AB的長度小于1的概率為　　　.【解析】如圖可設 =1，則根據幾何概率可知其整體事件是其周長3，則其概率是23.題型二　面積問題【例2】 兩個CB對講機(CB即CitizenBand民用波段的英文縮寫)持有者，莉莉和霍伊都為卡爾貨運公司工作，他們的對講機的接收范圍為25公里，在下午3：00時莉莉正在基地正東距基地30公里以內的某處向基地行駛，而霍伊在下午3：00時正在基地正北距基地40公里以內的某地向基地行駛，試問在下午3：00時他們能夠通過對講機交談的概率有多大?【解析】設x和y分別代表莉莉和霍伊距基地的距離，于是0≤x≤30,0≤y≤40.他們所有可能的距離的數據構成有序點對(x，y)，這里x，y都在它們各自的限制范圍內，則所有這樣的有序數對構成的集合即為基本事件組對應的幾何區(qū)域，每一個幾何區(qū)域中的點都代表莉莉和霍伊的一個特定的位置， 他們可以通過對講機交談的事件僅當他們之間的距離不超過25公里時發(fā)生(如下圖)，因此構成該事件的點由滿足不等式x2+y2≤25的數對組成，此不等式等價于x2+y2≤625，右圖中的方形區(qū)域代表基本事件組，陰影部分代表所求事件，方形區(qū)域的面積為1 200平方公里，而事件的面積為(14)π(25)2=625π4，于是有P=625π41 200=625π4 800≈.【點撥】解決此類問題，應先根據題意確定該實驗為幾何概型，然后求出事件A和基本事件的幾何度量，借助幾何概型的概率公式求出.【變式訓練2】如圖，以正方形ABCD的邊長為直徑作半圓，求飛鏢落在花瓣內的概率.【解析】飛鏢落在正方形區(qū)域內的機會是均等的，設正方形邊長為2r，則P( A)=S花瓣SABCD=12πr24(2r)2(2r)2=π22.所以，飛鏢落在花瓣內的概率為π22.題型三　體積問題【例3】 在線段[0,1]上任意投三個點，設O至三點的三線段長為x、y、z，研究方法表明：x，y，z能構成三角形只要點(x，y，z) 落在棱長為1的正方體T的內部由△ADC，△ADB，△BDC，△AOC，△AOB，△BOC所圍成的區(qū)域G中(如圖)，則x，y，z能構成三角形與不能構成三角形這兩個事件中哪一個事件的概率大?【解析】V(T)=1，V(G)=133131213=12，所以P=V(G)V(T)=12.由此得，能與不能構成三角形兩事件的概率一樣大.【點撥】因為任意投的三點x，y，z是隨機的，所以使得能構成三角形只與能構成三角形的區(qū)域及基本事件的區(qū)域有關.【變式訓練3】已知正方體ABCD—A1B1C1D1內有一個內切球O，則在正方體ABCD—A1B1C1D1內任取點M，點M在球O內的概率是(　　) 【解析】設正方體的棱長為a，則點M在球O內的概率P=V球V正方體=43π(a2)3a3=π6，選C.總結提高，概率大小與隨機事件所在區(qū)域的形狀和位置無關，其測度為0，則它出現的概率為0，但它不是不可能事件. 如果隨機事件所在區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個單點， 其測度為1，則它出現的概率為1，但它不是必然事件.(長度，面積，體積)，.“等可能性”可以理解成“對任意兩個區(qū)域，當它們的測度(長度，面積，體積，…)相等時，事件A對應點落在