量子力學(xué)試題(編輯修改稿)
2025-09-01 17:18 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 線諧振子的哈密頓算符的矩陣元。 解：在坐標(biāo)表象中，線諧振子的哈密頓算符為在動(dòng)量表象中，該哈密頓算符為由于動(dòng)量的本征函數(shù)為，故哈密頓算符的矩陣元為 四、（20分）設(shè)兩個(gè)自旋為非全同粒子構(gòu)成的體系，哈密頓量， 其中，為常數(shù)，與分別是粒子1和粒子2的自旋算符。已知時(shí)，粒子1的自旋沿軸的負(fù)方向，粒子2的自旋沿軸的正方向，求時(shí)測(cè)量粒子1的自旋處于軸負(fù)方向的幾率和粒子2的自旋處于軸負(fù)方向的幾率。 解： 體系的哈密頓算符為選擇耦合表象，由于，故四個(gè)基底為；；；在此基底之下，哈密頓算符是對(duì)角矩陣，即可以直接寫出它的解為， ， ， ， 已知時(shí)，體系處于因?yàn)楣茴D算符不顯含時(shí)間，故時(shí)刻的波函數(shù)為粒子1處于軸負(fù)方向的幾率為而粒子2處于軸負(fù)方向的幾率為五、 （20分）作一維運(yùn)動(dòng)的粒子，當(dāng)哈密頓算符為時(shí)，能量本征值與本征矢分別為與，如果哈密頓算符變成（為實(shí)參數(shù)）時(shí)， （1）利用費(fèi)曼－海爾曼定理求出嚴(yán)格的能量本征值。 （2）若，利用微擾論計(jì)算能量本征值到二級(jí)近似。解：首先，利用費(fèi)因曼－赫爾曼定理求出嚴(yán)格的能量本征值。視為參變量，則有利用費(fèi)因曼赫爾曼定理可知又知在任何束縛態(tài)下，均有所以，進(jìn)而得到能量本征值滿足的微分方程對(duì)上式作積分，得到利用時(shí)，定出積分常數(shù)最后，得到的本征值為其次，用微擾論計(jì)算能量的近似解。已知滿足的本征方程為由可知第個(gè)能級(jí)的一級(jí)修正為能量的二級(jí)修正為為了求出上式右端的求和項(xiàng)，在表象下計(jì)算可以證明，對(duì)于任意實(shí)束縛態(tài)波函數(shù)，有于是，得到得到近似到二級(jí)的解為量子力學(xué)試題（三）及答案一、（20分）已知?dú)湓釉跁r(shí)處于狀態(tài) 其中，為該氫原子的第個(gè)能量本征態(tài)。求能量及自旋分量的取值概率與平均值，寫出時(shí)的波函數(shù)。 解 已知?dú)湓拥谋菊髦禐? ， （1）將時(shí)的波函數(shù)寫成矩陣形式 （2）利用歸一化條件 （3）于是，歸一化后的波函數(shù)為 （4）能量的可能取值為，相應(yīng)的取值幾率為 （5）能量平均值為 （6）自旋分量的可能取值為，相應(yīng)的取值幾率為 （7）自旋分量的平均值為 （
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