量子力學(xué)考試知識(shí)點(diǎn)(編輯修改稿)
2025-07-04 22:48 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 設(shè)時(shí)，電子自旋“向上”（）。 求時(shí)（1）電子自旋態(tài)； （2）電子自旋的平均值。 解：（1） 方法一 令 初始條件 由薛定諤方程 得 積分得 由此可得 方法二 體系能量本征態(tài)即的本征態(tài)，本征值和本征態(tài)分別為 電子自旋初態(tài) T時(shí)刻電子自旋態(tài)為 （2）電子自旋各分量的平均值 五、已知系統(tǒng)的哈密頓量為 求能量至二級(jí)近似，波函數(shù)至一級(jí)近似。解： （1） 可見所設(shè)表象為非表象，為將對(duì)角化，先由的本征方程求其本征值和本征矢。 求得結(jié)果為： 本征值 相應(yīng)本征矢 （2）利用 轉(zhuǎn)到表象（將對(duì)角化） 在表象中 則 量子力學(xué)測(cè)試題（2）一質(zhì)量為m的粒子沿x正方向以能量E向x=0處勢(shì)壘運(yùn)動(dòng)。當(dāng)時(shí)，勢(shì)能為零；當(dāng)時(shí)，勢(shì)能為。問(wèn)在x=0處粒子被反射的幾率多大？解：Seq為 其中 由題意知 區(qū)域 既有入射波，又有反射波；區(qū)域僅有透射波 故方程的解為 在x=0處，及都連續(xù)，得到 由此解得 注意 透射率 因?yàn)? 將 ，分別代入幾率流密度公式 得 入射粒子流密度 反射粒子流密度 透射粒子流密度 由此得 反射率 透射率 計(jì)算 （1）（2）設(shè)是的整函數(shù)，則解：（1）因?yàn)閷⒌诙?xiàng)啞標(biāo)作更換 所以 （2）先由歸納法證明 （）式 上式顯然成立；設(shè)時(shí)上式成立，即 則 顯然，時(shí)上式也成立，（）式得證。因?yàn)? 則 試在氫原子的能量本征態(tài)下，計(jì)算和的平均值。解：處于束縛態(tài)下的氫原子的能量 （1）計(jì)算 方法1 相應(yīng)的維里定理為 所以 方法2 選為參量 相應(yīng)的FH定理 （2）計(jì)算 等效的一維哈密頓量 取為參量 相應(yīng)的FH定理 注意 有一個(gè)二能級(jí)體系，哈密頓量為， 和微擾算符的矩陣表示為 其中表征微擾強(qiáng)度。用微擾法求的本征值和本征態(tài)。解：由于是對(duì)角化的，可見選用表象為表象 對(duì)于，由非簡(jiǎn)并微擾論計(jì)算公式 得 所以 ，二級(jí)近似能量和一級(jí)近似態(tài)矢為 ，；。對(duì)于，由簡(jiǎn)并微擾論計(jì)算得一級(jí)近似能量和零級(jí)近似態(tài)矢為 ，；。自旋投影算符，為泡利矩陣，為單位矢量（）。 （1）對(duì)電子自旋向上態(tài)，求的可能值及相應(yīng)幾率； （2）對(duì)的本征值為1的本征態(tài)，求的可能值及相應(yīng)幾率。解：（1）由 得 對(duì)于電子自旋向上態(tài)，取值的幾率分別為 （2）的本征值和本征態(tài)
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