【文章內(nèi)容簡介】 ?有關 ， 故應先根據(jù)通帶要求確定 ?。 由 , 可得到 , ? = 。 ? 再根據(jù)阻帶要求確定 N， 由所給指標有： ? 故可得 () 1 22 ??? ? ? 2 0 23457? .2222 )2(11|)2(| ??? Na CjH ?C N2 22 99 422 05( ) .? ?? C N ( ) .2 20 5?? 根據(jù)遞推公式 ? 因 , ? 故有 ? 已經(jīng)看到 ， 只要 N=3， 便可滿足 ()式 。 因此所設計的 C 型濾波器的平方幅度響應為 C C CN N N? ?? ?1 12 4 2 2( ) ( ) ( )C 0 2 1( ) ? C 1 2 2( ) ?26274)2( ,7124)2( 32 ???????? CC| ( )| . ( )H j Ca ? ?23211 0 23457? ? C型低通濾波器的極點和系統(tǒng)函數(shù) ? 由 （ ） 式和 ()式可得： （ ） ? 用 s代替 j?， 便有： () H j H j H jC jja a aN( ) ( ) | ( )|( )? ? ? ?? ? ??22 211 ?)(11)()(22 jsCsHsHNaa ???? ?? 將左半平面的 N個極點分給 ， 設這 N個極點為 k=1,2,… ,N () ? 則有 () )(sHa,kkk js ??? ?NkbNkakk 2)12(c o s ,2)12(s i n ??? ??????? 故 的極點是方程 的根 。 可以證明 ， 這些根共有 2N個 ， 它們成復共軛對出現(xiàn) ， 而且關于虛軸對稱 ， 卻沒有一個在虛軸上 。 這 2N個極點實際上分布在一個橢圓上 ， 橢圓的短軸半徑為 a， 長軸半徑為 b， 這里： () ? 而 () )()( sHsH aa ? 1 02 2? ? ?? C jsN ( )a bN N N N? ? ? ?? ?12 121 1 1 1( ), ( )? ? ? ?? ? ?? ? ?? ?1 21? 由于 的最高次冪的系數(shù)為 ， 因此 ()式中Ha(s)的分母多項式的最高次項的系數(shù)應為 ? ， 于是有： () ? 橢圓上的這 2N個極點還可以由作圖法確定 ， 如圖 ，圖中是 N=3的情況 。 CN ( )?2 1N?2 1N?)())((2)(2111NNa sssssssH ????????圖 C型低通濾波器的極點分布 Cauer 低通濾波特性簡介 （ ） ? 這里 為雅可比橢圓函數(shù)， N為濾波器階次。此濾波器幅度特性主要由雅可比橢圓函數(shù)決定，故又叫橢圓（函數(shù)）濾波器。這種濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的分子分母都是 s的多項式，其一般形式為： | ( )| ( )H j JaN? ?2 2 211? ? ?J N ( )?? N為偶數(shù)： ? N為奇數(shù)： ? 由于分子也是 s的多項式 ， 因此 Ha(s)在 s平面的有限遠處具有零點 。 ? Cauer 濾波器在通帶和阻帶都有等波紋幅度特性 ， 如圖 。 01112/122 )()(bsbsbsasksH NNNNiia ?????? ?????01112/)1(1220 )()()( bsbsbsasasksH NNNNiia ??????? ?????? 三種濾波器的比較 ? B型濾波器和 C 型濾波器都是全極點濾波器 ， 而 cauer濾波器不是 。 這三種濾波器無論在濾波特性 、 設計方法以及穩(wěn)定性方面都是不同的 ， 總的來說 ， C型濾波器在各個方面都介于 B型濾波器和 Cauer濾波器之間 。 1. 關于濾波器的幅度頻率特性 : Butterworth濾波器在整個頻帶內(nèi)都是單調(diào)下降的； ChebyshevⅠ 型濾波器在通帶內(nèi)等波紋振動 ， 在過渡帶和阻帶單調(diào)下降； Cauer濾波器除了過渡帶外 ， 在通帶和阻帶都等波紋振動 。 2. 關于過渡帶的陡度 : Cauer濾波器最陡 ， Butterworth濾波器最差 。 因此 ， 對于相同要求的過渡帶特性 ， 所需的濾波器階次 N， Cauer為最低 ， Butterworth為最高 。 3. 關于設計的復雜性 ： B型濾波器最簡單 ， Cauer濾波器最復雜 。 4． 關于濾波器頻率特性對于參數(shù)變化的靈敏度 ：按照對濾波器幅頻特性的要求來設計出的系統(tǒng)函數(shù) Ha(s)在實現(xiàn)時，各個系數(shù)是由電子元件的數(shù)值來產(chǎn)生的。而電子元件的精度是有限的，因此所產(chǎn)生的各個系數(shù)與所設計的 Ha(s)的系數(shù)之間就會有誤差， 濾波器圖表法設計 ? 模擬濾波器的理論和設計方法都已經(jīng)相當成熟 ， 并且有許多現(xiàn)成的圖表可以利用 ， 使設計工作非常方便 。 下面介紹兩種與濾波特性的逼近有關的圖表設計方法 。 用列線圖求濾波器的階數(shù) N ? 將幅頻響應特性用衰減 ?(db)來表示 。 （ ） ? 假設所要設計的低通濾波器的指標如圖 所示 ， 表示通帶所允許的最大衰減 ， 表示阻帶所要求的最小衰減 ， 所設計的濾波器的衰減特性曲線不應落入圖中陰影部分 。 ? ( ) log | ( )|db H ja? 10 110 2??max?min 圖 用列線圖求濾波器的階數(shù) N 1 查表求得濾波器的系統(tǒng)函數(shù) Ha(s) ? 求得所要求的濾波器的階數(shù) N 后 ， 只需查表就可以得到它的系統(tǒng)函數(shù) 。 對于 B型濾波器 ， 系統(tǒng)函數(shù) Ha(s)的分母多項式為 () ? ()式中的系數(shù)是以 3db帶寬 為基準頻率時的值，即此時 =1，因此 Ha(s)的分子為 1。 0111)( bsbsbssQ NNN ????? ?? ??c?c? 對于 C型濾波器 ， 根據(jù)不同的 RWdb（ 或 ?〕 有多個不同的表格 ， 根據(jù)所求得的 N在相應的表格中可以查到 Ha(S)的分母多項式 Q(S)的各系數(shù) ， Q(s)的表達式仍如 ()式所示 。注意 ， 在 C型濾波器的情形 ， 是以通帶邊界頻率 Ω 1為基準頻率的 ， 即 Ω 1=1， 而 Ha(s)的分子則為 。 ?? ?1 12 N 脈沖響應不變法 在給定了模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) Ha(s)的情況 下，如何求響應的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)。 ? （ 1） （ 2）兩邊進行拉氏反變換，得 （ 3）對 ha(t)以周期 T進行取樣，有 （ 4）對上式兩邊進行 Z變換，得 上式中的冪級數(shù)收斂應滿足條件 比較（ ）和（ ）式的系數(shù)，各極點分別對應，因此，只要將模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) Ha(s)分解為（ ）所示的部分分式之和的形式，即可得到響應數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)。 Tsiez ?總結(jié)：用沖激響應不變法設計 IIR濾波器的一般流程： 根據(jù)設計要求，設定指標。 將數(shù)字濾波器性能指標變換為模擬濾波器的性能指標。 設計出符合要求的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) Ha(s) 。 將 Ha(s) 展成部分分式的并聯(lián)形式，利用變換關系公式設計出 H(z) 。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h n T h n H z? ? ? ?1()Nkak kAHsss?? ?? 11 ( ) 1 kNksTkAHzez ???? ??? 系數(shù)相同： kA? 極點： s 平面 z 平面 kss?? ksTze?拉氏反 變換 取樣 Z變換 例題 解： ? 數(shù)字仿真： 就是依據(jù) AL設計出相應的 DL，當它的輸入等于 AL的輸入 x(t)的取樣 x(n)時，其輸出也等于 AL的輸出 y(t)的取樣 y(n)。 AL DL ??tx ??ty? ?nTx ? ?nTy取 樣 取 樣 ??tx??nx??ty??ny??tha??nht ttn n n圖 數(shù)字仿真示意圖 1 時域的數(shù)字仿真 ? 沖激響應不變準則： 如果 DL的沖激響應h(n)=T?ha(nT)，則當輸入為 AL輸入為 x(t)的抽樣 x(nT)時，其輸出就為 AL輸出 y(t)的抽樣y(nT)，即 DL事 AL的數(shù)字仿真。 ? 證明 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? dhtxthtxty aa ? ???? ?0對于一線性非移變因果系統(tǒng)有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?tykThkTtxTkThkTtxThTtxThTtxhtxTkTTTTtyTakaaaa?? ??????????????????? 022020???? w當 T足夠小時，用 t=nT代入上式，有 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ??? ???????00kakTkTnTxkhkThkTnTxTnTynTy可見，當輸入為 x(n)時，其輸出為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?knxkhnxnhnyk????? ?? 0從時域來看，數(shù)字仿真的條件是： h(n)=Tha(nT) 2 頻域的數(shù)字仿真 前面已經(jīng)學到，取樣信號 xa(nT)的頻譜 ? ??aX?是原模擬信號頻譜 ? ??aX 的周期延拓 ? ? ? ?? ????? ????n saanXTX 1?? ? ? ? ? ?Tjja eXeXX ???? w?? ? ? ?? ????? ?????????? n saTjnnnXTenx 1? ? ? ?? ????? ?????????? n saTjnn anHenTTh? ? ? ? ? ?? ?????? ???????????n saTjnnTj nHenheH? ?TjeH ? 是以 h(n)為脈沖響應的數(shù)字濾波器的頻率響應， DL的頻率 響應 ? ? ? ?wjTj eHeH ?? 是它所仿真的 AL的頻率響應 ? ??aH的周期延拓。 ? ??aH ? ?TjeH ? ? ?saH ???2s?? 2s???? ??aH如圖可見，從頻域來看，數(shù)字仿真應滿足條件： ? ? 0,2 ???????? ams HT?圖 模擬濾波器頻率響應的延拓 ??? ?? ????????????????????????????????????????????????nnnn s T