【正文】 響應(yīng)濾波器 ????????NiiiMiiizbzazH101)(系統(tǒng)函數(shù)為：?????10)()(NnnznhzH系統(tǒng)函數(shù)為：4）根據(jù)實現(xiàn)的方法分 ? 遞歸型， IIR一般為遞歸型 ? 非遞歸型，一般 FIR除頻率取樣設(shè)計方法外 數(shù)字濾波器的技術(shù)要求 ? 選頻濾波器的 頻率響應(yīng) ： ? 相頻特性 ： 反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況； ? 幅頻特性 ： 表示信號通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況。 （ 4） 實際技術(shù)實現(xiàn)：軟件法、硬件法或 DSP芯片法。確保系統(tǒng)穩(wěn)定，極點 應(yīng)位于 z平面的單位 圓內(nèi)（或與零點共同存在于單位圓 上）。 、極點位置累試法 ? 概念 ：一些簡單濾波器的設(shè)計中，依據(jù)系統(tǒng)函數(shù)在單位圓內(nèi)的極點處出現(xiàn)峰值，而在零點處出現(xiàn)谷值的特性來設(shè)計零、極點，以達到簡單的性能要求。 ? 特點 ：思路簡單，也只適用于簡單濾波器的設(shè)計中。 ? 特點 ：數(shù)字濾波器（ DF）與模擬濾波器（ AF）在許多場合都有相同的功能。 ? 步驟 ： （ 1）選擇一種最優(yōu)化準(zhǔn)則，如最小均方誤差、最大誤差最小準(zhǔn)則等等；（ 2）賦予所設(shè)計參數(shù)一組初值，計算這組參數(shù)下的 H(z)特性及其誤差；（ 3）不斷改變這組參數(shù)，重復(fù)（ 2），直到誤差最小，則得到一組最優(yōu)參數(shù)。 模擬低通濾波特性的逼近 ? 這里主要討論如何設(shè)計模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，使其逼近所需的濾波器的性能要求。 ? B型濾波器和 C型濾波器都是全極點濾波器，而 Cauer濾波器不是，它們在濾波特性、設(shè)計方法及穩(wěn)定性方面都不同， C型濾波器在整個頻帶內(nèi)都介于另外兩種濾波器之間。 Butterworth低通濾波特性的逼近 ? 對于 Butterworth濾波器有： （ ） ? 滿足此平方幅度特性的濾波器又叫做 B型濾波器 。 | ( )| [ ( ) ]H ja Nc? ??2 21 1? ? B型濾波特性 1. 最平坦函數(shù) ? B型濾波器的幅頻特性是隨 ?增大而單調(diào)下降的。 ? 2. 3db帶寬 ? 由 ()式可知 ， 當(dāng) Ω =Ω c 時 ， = ， 而 因此截止頻率又叫做 3db帶寬或者半功率點 。 | ( )|H ja ? 2| ( )|H ja ? 2 圖 Butterworth低通濾波器的平方幅度特性 圖 階次 N對 B型特性的影響 由 B型濾波器的極點得到 Ha(s), ? 由于 Ha(s)是 s的實系數(shù)有理函數(shù) ， 故有： ，令 s=jΩ , 則有： ， 而 () ? 由 ()式和 ()式有： ? 用 s代替上式中的 j?: () H s H sa a* *( ) ( )?H j H ja a* ( ) ( )? ?? ?| ( )| ( ) ( ) ( ) ( )*H j H j H j H j H ja a a a a? ? ? ? ?2 ? ? ?H j H ja a N jj Nc c( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ]? ? ?? ??? ? ? ? ?1 1 1 12 2])(1[1)()( 2 Nj saa csHsH ????pcNcp jjs ?????? )2/(1)1(p=0,1,…,2N 1 此式表明幅度平方函數(shù)有 2N個極點，極點 sp用下式表示： 三階巴特沃斯濾波器極點分布 ? 為形成穩(wěn)定的濾波器 ， 2N個極點中只取s平面左半平面的 N個極點構(gòu)成 Ha(s)， 而右半平面的N個極點構(gòu)成 Ha(s)。 因此有： () )())(()( 110 ??????NNca sssssssH ?? 這個式子中的常數(shù) 是為了使 ()式滿足而加入的 。 ?cN?c 一般情況下的 B型低通濾波器 圖 一般情況下低通濾波器的設(shè)計指標(biāo) 角頻率 ? 標(biāo)稱化 (歸一化） . Ω1為基準(zhǔn)頻率，則標(biāo)稱化角頻率為： Ω’=Ω/Ω1 ?通帶邊界的標(biāo)稱化角頻率為 Ω1’=1， 并且在通帶有 0≤Ω’≤1， 在過渡帶和阻帶則有 ?’ 1。 2222222 ]1[1|)(| ABjH Na ?????22222 /)11( BAN ????c2??? Chebyshev 低通濾波特性的逼近 ? Chebyshev濾波特性分為兩個類型。這里討論的是 ChebyshevⅠ 型低通濾波特性。 C型濾波器的平方幅度特性為： () ? 其中 ?為標(biāo)稱化的角頻率 ， 基準(zhǔn)頻率為通帶邊界頻率 ， 即=1； N為濾波器階數(shù) ， 它可以是 0和正整數(shù)； 是 N 階 Chebyshev多項式 , ?為一常數(shù) 。 CN( )? CN2 ( )?0 1? ?? 1)2co s ()1( ?? kNC N ?C N e eN ( ) c o s h ( c o s h ) c o s h1 1 0 2 11 0 0? ? ? ? ??)()1()( ????? NNN CC1??在分界點 1處是連續(xù)的，在 1處也是連續(xù)的 3. CN(Ω )是一個多項式 ? 當(dāng) 時 ， 若令 ， 則 。 2 1N?4. 的零點分布 ? 當(dāng) |?|?1即在通帶時，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可以證明， 共有 N個零點；而當(dāng) |?|1，由于 實際上是一指數(shù)函數(shù)，故不再有零點，而且 | | 隨 |?|增大而單調(diào)上升， N越大上升越快。 2. 邊界特性 ? 由于 =1， 因此在通帶邊界頻率 ?1=1處 ， 無論 N為何值 ，總有： （ ） ? 當(dāng) ?=0， 由 ()式和 ()式可以得到： () CN( )12221 11)1(|)(|????? jHjH aa????? ??) (N 1) (N 11|)0(| 22為奇數(shù)為偶數(shù)?jH a3. 過渡帶和阻帶特性以及 3db帶寬 ? 當(dāng) ?1， 即在過渡帶和阻帶 ， 隨 ?增大而單調(diào)下降 ， N越大下降越快 。增大 ? 會使阻帶衰減增大，從而改善阻帶特性；但同時通帶波動幅度增大，通帶特性變壞。 根據(jù)濾波器所要求的指標(biāo)確定參數(shù) ε 和 N ? 下面舉例來說明如何確定 C型濾波器的參數(shù) ? 和 N。 若用 C型濾波特性逼近 ， 求其參數(shù) ? 和 N。 由 , 可得到 , ? = 。 因此所設(shè)計的 C 型濾波器的平方幅度響應(yīng)為 C C CN N N? ?? ?1 12 4 2 2( ) ( ) ( )C 0 2 1( ) ? C 1 2 2( ) ?26274)2( ,7124)2( 32 ???????? CC| ( )| . ( )H j Ca ? ?23211 0 23457? ? C型低通濾波器的極點和系統(tǒng)函數(shù) ? 由 （ ） 式和 ()式可得： （ ） ? 用 s代替 j?， 便有： () H j H j H jC jja a aN( ) ( ) | ( )|( )? ? ? ?? ? ??22 211 ?)(11)()(22 jsCsHsHNaa ???? ?? 將左半平面的 N個極點分給 ， 設(shè)這 N個極點為 k=1,2,… ,N () ? 則有 () )(sHa,kkk js ??? ?NkbNkakk 2)12(c o s ,2)12(s i n ??? ??????? 故 的極點是方程 的根 。 這 2N個極點實際上分布在一個橢圓上 ， 橢圓的短軸半徑為 a， 長軸半徑為 b， 這里： () ? 而 () )()( sHsH aa ? 1 02 2? ? ?? C jsN ( )a bN N N N? ? ? ?? ?12 121 1 1 1( ), ( )? ? ? ?? ? ?? ? ?? ?1 21? 由于 的最高次冪的系數(shù)為 ， 因此 ()式中Ha(s)的分母多項式的最高次項的系數(shù)應(yīng)為 ? ， 于是有： () ? 橢圓上的這 2N個極點還可以由作圖法確定 ， 如圖 ，圖中是 N=3的情況 。此濾波器幅度特性主要由雅可比橢圓函數(shù)決定，故又叫橢圓（函數(shù)）濾波器。 ? Cauer 濾波器在通帶和阻帶都有等波紋幅度特性 ， 如圖 。 這三種濾波器無論在濾波特性 、 設(shè)計方法以及穩(wěn)定性方面都是不同的 ， 總的來說 ， C型濾波器在各個方面都介于 B型濾波器和 Cauer濾波器之間 。 2. 關(guān)于過渡帶的陡度 : Cauer濾波器最陡 ， Butterworth濾波器最差 。 3. 關(guān)于設(shè)計的復(fù)雜性 ： B型濾波器最簡單 ， Cauer濾波器最復(fù)雜 。而電子元件的精度是有限的，因此所產(chǎn)生的各個系數(shù)與所設(shè)計的 Ha(s)的系數(shù)之間就會有誤差， 濾波器圖表法設(shè)計 ? 模擬濾波器的理論和設(shè)計方法都已經(jīng)相當(dāng)成熟 ， 并且有許多現(xiàn)成的圖表可以利用 ， 使設(shè)計工作非常方便 。 用列線圖求濾波器的階數(shù) N ? 將幅頻響應(yīng)特性用衰減 ?(db)來表示 。 ? ( ) log | ( )|db H ja? 10 110 2??max?min 圖 用列線圖求濾波器的階數(shù) N 1 查表求得濾波器的系統(tǒng)函數(shù) Ha(s) ? 求得所要求的濾波器的階數(shù) N 后 ， 只需查表就可以得到它的系統(tǒng)函數(shù) 。 0111)( bsbsbssQ NNN ????? ?? ??c?c? 對于 C型濾波器 ， 根據(jù)不同的 RWdb（ 或 ?〕 有多個不同的表格 ， 根據(jù)所求得的 N在相應(yīng)的表格中可以查到 Ha(S)的分母多項式 Q(S)的各系數(shù) ， Q(s)的表達式仍如 ()式所示 。 ?? ?1 12 N 脈沖響應(yīng)不變法 在給定了模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) Ha(s)的情況 下，如何求響應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)。 Tsiez ?總結(jié)：用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計 IIR濾波器的一般流程： 根據(jù)設(shè)計要求，設(shè)定指標(biāo)。 設(shè)計出符合要求的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) Ha(s) 。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h n T h n H z? ? ? ?1()Nkak kAHsss?? ?? 11 ( ) 1 kNksTkAHzez ???? ??? 系數(shù)相同： kA? 極點： s 平面 z 平面 kss?? ksTze?拉