數(shù)值分析32迭代加速、牛頓法及弦截法(編輯修改稿)
2024-09-01 06:42 本頁面
【文章內容簡介】 程 x=e–x在 x= . 例 2 對于給定的正數(shù) C，應用牛頓法解二次方程 ,02 ?? Cx 我們現(xiàn)在 證明 ，這種迭代公式對于任意初值 x00都是收斂的 . 推導出求開方值 的計算公式 . C.21)()()(,)( 2 ?????? ??????? xCxxfxfxxCxxf ?)(.211 ???????????kkk xCxx 事實上，對 ()式進行配方整理，易知 ? ? .21 21 CxxCx kkk ?? ??以上兩式相除得 .211???????????????CxCxCxCxkkkk據此反復遞推有 )(.200kCxCxCxCxkk?????????????記 00xCqxC???整理 ()式，得 .1222kkqqCCxk ??? 對任意初值 x00，總有 |q|1，故由上式推知，當k→ ∞ 時 ，即迭代過程恒收斂 . Cxk ? 重根情形 當 x*為 f(x)的 m(m0)重根 時，則 f(x) 可表為 f(x)=(xx*)mg(x). 其中 g(x*)≠0，此時用牛頓迭代法 ()求 x* 仍然收斂，只是 收斂速度將大大減慢 . 事實上，因為迭代公式 )()()()()()()(**1kkkkkkkkkk xgxxxmgxgxxxxfxfxx??????????令 ek=xk–x*，則 )()()(*11kkkkkkkk xgexmgxgeexxe?????? ??可見用牛頓法求方程的重根時僅為 線性收斂 . .011)()()(1limlim 1 ?????????????????? mxgexmgxgeekkkkkkkk從而有 兩種 提高求重根的收斂速度 的 方法 ： 1) 取如下迭代函數(shù) .0)(,)( )()( ????? ?xxf xfmxx ?? 則)().,1,0()( )(1 ?????? kxf xfmxxkkkk得到迭代公式 下面介紹一個 求重數(shù) m的方法 ，令 211??????kkkkk xxxx?則 1121 2 1111kk k k kkkk k kkee e e eee e ee????? ? ????? ? ???求 m重根具有 2階收斂 . 但要知道 x*的 重數(shù) m. 由式 1 1l i m 1kk keem?????.111lim mmmkk???????得 因此得估計 m的式子為 .1 1km ??? 對 f(x)=(xx*)mg(x), g(x*)≠ 0，令函數(shù) .)()()( )()()( )()( xgxxxmg xgxxxf xfx ??????? ???則為求 μ(x)=0的單根 x*的問題，對它用牛頓法是二階(平方 )收斂的 . 其迭代函數(shù)為 2) 將求重根問題化為求單根問題 . .)(
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