數(shù)值分析32迭代加速、牛頓法及弦截法-在線瀏覽
2024-09-15 06:42本頁(yè)面
【正文】 .)()()]([ )()()( )()( 2 xfxfxf xfxfxxxxx ???? ?????? ???)().,1,0()()()]([ )()( 21 ?????? ???? kxfxfxf xfxfxxkkkkkkk從而構(gòu)造出迭代方法為 例 3 用牛頓迭代法求函數(shù) f(x)=(x1)[sin(x1)+3x]x3+1=0 在 . 解 取 x0 = 用牛頓迭代法求得的 xk見(jiàn)右表 . 可見(jiàn) xk收斂很慢 . k xk ?k m 0 1 2 3 4 5 6 由重根數(shù) m=2, 用 ()式加速法，作 求得 x0=, x1=, x2=x3=1. 收斂速度大大加快于直接用牛頓迭代公式 . 1()()kkkkfxx x mfx? ?? ? 弦截法與拋物線法 用牛頓法求方程 f(x)=0的根，每步除計(jì)算 f(xk)外還要算 f?(xk)，當(dāng)函數(shù) f(x) 比較復(fù)雜時(shí)，計(jì)算 f?(x)往往比較困難，為此可以利用已求函數(shù)值 f(xk),f(xk1),?來(lái)回避導(dǎo)數(shù)值 f?(xk)的計(jì)算 . 這類(lèi)方法是建立在 插值原理 基礎(chǔ)上的，下面介紹 弦截法與拋物線法 . 弦截 (割線 )法 設(shè) xk, xk1是 f(x)=0的近似根，我們利用 f(xk), f(xk1)構(gòu)造一次插值多項(xiàng)式 p1(x)，并用 p1(x)=0 的根作為方程f(x)=0 的新的近似根 xk+1，由于 )().()()()()(111 kkkkkk xxxxxfxfxfxp ???????因此有 )().()()( )( 111 ??? ???? kkkkkkk xxxfxfxfxx這樣導(dǎo)出的迭代公式 ()可以看做牛頓公式 .)()(1kkkk xfxfxx????11 )()(????kkkkxxxfxf中的導(dǎo)數(shù) 用 差商 取代的結(jié)果 . )( kxf ? ()式有明顯的 幾何意義： 設(shè)曲線 y=f(x)上橫坐標(biāo)為 xk1和 xk的點(diǎn)分別為 Pk1和 Pk, 則差商 表示弦 的斜率 , 弦 的方程為 11 )()(????kkkkxxxfxfkk PP 1?kk PP 1?)()()()(00kkkk xxxxxfxfxfy ?????O x* xk+1 xk Pk xk1 y x Pk1 因此，按 ()式求得xk+1實(shí)際上是兩點(diǎn)弦線 與 x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) (令 y=0解出x即可 ).這種算法因此而形象地稱(chēng)為 弦截(割線 )法 . kk PP 1?注： 弦截法與切線法 (牛頓法 )都是線性化分法，但兩者有本質(zhì)的區(qū)別 . 切線法在計(jì)算 xk+1 時(shí)只用到前一步的值 xk，而弦截法要用到前面兩步的結(jié)果 xk1, xk，因此使用這種方法必須先給出兩個(gè)開(kāi)始值 x0, x1. 定理 6 假設(shè) f(x)在根 x*的鄰域內(nèi) △ : |xx*|≤ δ 具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任意 x?△ 有
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