卡方檢驗(yàn)法在檢驗(yàn)學(xué)生成績中的應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-09-01 02:42 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 （）服從自由度為的分布[11]。而現(xiàn)在對(duì)于給定的顯著性水平，那么怎么去確定臨界域？因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)量的值是在一個(gè)閉區(qū)間內(nèi)，設(shè)存在與，使得上述可知，臨界域的結(jié)構(gòu)形式是。定出和的方法有很多。這是由于我們把分成任意兩個(gè)，；分別由確定和。通常和的選取，都是有犯第二類錯(cuò)誤的發(fā)生概率來確定的。這就需要選定和使得出現(xiàn)第二類錯(cuò)誤的可能性盡量小。可是在實(shí)際中計(jì)算最優(yōu)的和很麻煩。通常就選取。那么這時(shí)和分別是自由度為的分布的和分位點(diǎn)，即，這樣我們就得到臨界域當(dāng)樣本觀測值時(shí)，就拒絕零假設(shè)，不然就接受零假設(shè)?；蛘咄ㄟ^樣本觀測值算出的統(tǒng)計(jì)量的值，若它小于或大于時(shí)，就拒絕原假設(shè)，否則就接受原假設(shè)[12]。2. 為未知常數(shù)。這時(shí)（）式所表示的已經(jīng)不是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。因?yàn)樗械奈粗獢?shù)。運(yùn)用前面的方法，利用樣本的均值來替代未知的總體均值。零假設(shè)成立時(shí)，根據(jù)定理可以知道統(tǒng)計(jì)量 （）服從自由度為的分布。確定相應(yīng)的后，可以跟前面一樣，通過確定出兩個(gè)臨界值。不過此時(shí)的和都是通過查自由度為的分布表得出的。上這種通過統(tǒng)計(jì)量（）和（）給出的檢驗(yàn)法則稱作檢驗(yàn)。例 某班級(jí)學(xué)生進(jìn)入高中前的中考成績服從正態(tài)分布?，F(xiàn)在隨機(jī)從中抽取10個(gè)學(xué)生的參加中考的成績，具體抽樣分?jǐn)?shù)如下：568，570，578，570，572，572，570，596，572,584在檢測水平為情況下，我們能不能相信該班學(xué)生成績方差為64呢？解：根據(jù)題目的意思，可以知道是要進(jìn)行檢驗(yàn)假設(shè) 由于未知，所以檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是而，然后計(jì)算得。由此可知因?yàn)?，根?jù)檢驗(yàn)法，應(yīng)該接受，即認(rèn)為這個(gè)班級(jí)的學(xué)生成績的方差為64。 非參數(shù)檢驗(yàn)在前面一節(jié)中，介紹了總體分布形式是在已知的條件下來進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)相應(yīng)問題，但是在很多地方，我們常常事先并不知道總體的分布類型，而這時(shí)我們就需要根據(jù)樣本的分布對(duì)總體的分布類型提出相應(yīng)假設(shè)并進(jìn)行相應(yīng)檢驗(yàn)，而這種檢驗(yàn)得方法一般被稱為分布擬合檢驗(yàn)或非參數(shù)檢驗(yàn)。例如，我們需要考察一個(gè)產(chǎn)品的可靠性從而打算運(yùn)用指數(shù)分布的模型，在此之前可能有些理論或檢驗(yàn)上的依據(jù)，但是這可不可行呢？通常我們就需要根據(jù)樣本對(duì)總體進(jìn)行檢驗(yàn)。那么現(xiàn)在我們說明其中一種分布擬合檢驗(yàn)的方法——非參數(shù)檢驗(yàn)?，F(xiàn)設(shè)離散型總體只能選取個(gè)數(shù)值，現(xiàn)在需要進(jìn)行檢驗(yàn) ()其中，=1且已知。可令事件,則式(1)可以寫成 （）設(shè)為取自總體的樣本，記為樣本中取值為的個(gè)數(shù)且為生的頻率。由于頻率的穩(wěn)定性，故當(dāng)較大時(shí)，兩者應(yīng)比較接近，所以在成立時(shí)，應(yīng)與非常接近。由此可知，與的差異的大小就可以反映的真?zhèn)巍Ｆ栠d提出用= ()作為檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量，利用可以均衡兩者的差異的程度，當(dāng)不真時(shí)，的值應(yīng)較大，這時(shí)拒絕域可取為其中，為某正數(shù)，為了得到水平為的檢驗(yàn)，還需要檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在下的分布。下面我們介紹下皮爾遜定理中指出了的漸近分布。（皮爾遜定理）若總體的真實(shí)分布已知。那么可以令 則()式所定義的統(tǒng)計(jì)量近似地服從自由度為的分布[13]。有時(shí)把()式中的和和分別稱為（或第組的，因的具體值不起作用，它只是起一個(gè)標(biāo)識(shí)的作用）經(jīng)驗(yàn)頻數(shù)和理論頻數(shù)。而有上述定理可知，假設(shè)檢驗(yàn)()的一個(gè)水平為的拒絕域?yàn)樽⒁獾绞录簼M足：（1） 互不相容，即；（2） 。則稱做為有限完備事件群，所以上述檢驗(yàn)也可以叫作為有限完備事件群的檢驗(yàn)。由于定理的結(jié)論為近似結(jié)果，應(yīng)用時(shí)一般要求，且每個(gè)，否則相鄰組要進(jìn)行合并。而皮爾遜擬合檢驗(yàn)法大體是根據(jù)檢驗(yàn)各個(gè)小組服從的實(shí)測頻數(shù)與理論頻數(shù)之間的相距多少來判斷經(jīng)驗(yàn)分布是否服從任何一個(gè)預(yù)先給定的分布。它就是通過用各個(gè)小組的實(shí)測數(shù)據(jù)與理論頻數(shù)之間的差異構(gòu)成了一個(gè)符合分布的統(tǒng)計(jì)量，并且利用這個(gè)統(tǒng)計(jì)量來進(jìn)行相應(yīng)的假設(shè)檢驗(yàn)．使用這種方法時(shí)要求選取的樣本容量比較大，并在進(jìn)行分組中，每組的理論頻數(shù)至少不小于5。設(shè)總體分布為，選取總體中的樣本為，那么現(xiàn)在我們就利用這組樣本的數(shù)據(jù)來進(jìn)行檢驗(yàn)假設(shè): ，其中是一個(gè)給定的分布函數(shù)[14]。具體的操作方法可以分為以下幾條: （1） 數(shù)據(jù)分組:把樣本值出現(xiàn)的范圍劃為組． ， ，…，其中。（2） 先求出各個(gè)小組的頻數(shù)，然后求出各個(gè)小組的頻率為 (其中表示內(nèi)的頻數(shù))。（3） 需要求理論頻率為:當(dāng)為真命題時(shí)，樣本X出現(xiàn)在區(qū)間中的頻率為:。（4） 計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量: ==.根據(jù)上述可以證明:無論是什么樣的分布，當(dāng)為真命題時(shí)，只要充分大那么統(tǒng)計(jì)量就近似的服從自由度為的分布．對(duì)于給定的顯著檢驗(yàn)水平，可查得分布的分位數(shù)。（5） 具體進(jìn)行相應(yīng)計(jì)算:根據(jù)樣本的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量的具體值．（6） 作出相應(yīng)的判斷:當(dāng)時(shí)，則拒絕假設(shè)命題。不然就接受假設(shè)．不過需要注意的地方是，在進(jìn)行計(jì)算時(shí)， 的分布必須全部知道。如果中還有個(gè)參數(shù)不能完全確定，那么可以利用這些參數(shù)的極大似然估計(jì)量來替代它，以
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