依概率收斂與弱大數(shù)定律(編輯修改稿)
2025-09-01 02:25 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 F, P)上的隨機(jī)變量，f (x)是[0, ∞) 上非負(fù)單調(diào)不減函數(shù)，則對(duì)任意x 0,P(|ξ| x). (10)證 當(dāng)Ef(|ξ|)=∞時(shí)，(10)式顯然成立. 設(shè)Ef(|ξ|)∞,ξ的分布函數(shù)為F(x). 因f (x) 單調(diào)不減，故 |y| x 時(shí), f(|,從而 .定理3 當(dāng)且僅當(dāng) E→0.證 充分性：注意到f (x)=在[0, ∞]上非負(fù)單調(diào)不減, 對(duì)任意ε0, 由定理2P(|→0, 即.必要性：設(shè)的分布函數(shù)是. 對(duì)任意ε0, =. (11)由于, 在(11)式兩邊先令n→∞, 再讓?duì)拧?，即得證E→0.二、弱大數(shù)定律考慮隨機(jī)試驗(yàn)E中的事件A，假設(shè)其發(fā)生的概率為p (0 p 1), 現(xiàn)在獨(dú)立重復(fù)地做試驗(yàn)n次——n重貝努里試驗(yàn). 令 , .則P(=1)=p, P(=0)=1p. 是做試驗(yàn)E n次后A發(fā)生的次數(shù)，可能值0,1,2,…,n, 視試驗(yàn)結(jié)果而定. 熟知 E=p. 在第一章167。1中曾經(jīng)指出: 當(dāng)時(shí)頻率穩(wěn)定到（在某種意義下收斂于）概率p. 我們想知道與p之間的差究竟有多大.首先應(yīng)該意識(shí)到不可能期望對(duì)任意給定的 0ε1, 當(dāng)n充分大時(shí), |p|ε對(duì)所有試驗(yàn)結(jié)果成立. 事實(shí)上，當(dāng)0 p 1, P(=1)=P(=1,…,=1)=,P(=0)=P(=0,…,=0)=(,它們都不為零. 而在第一種情況，取ε1p，不論n多大，|p|=1p ε。 在第二種情況，取εp, 則有|p|= p ε.然而，當(dāng)n充分大后，事件{=1}和{=0}發(fā)生的可能性都很小. 一般來說，自然地希望當(dāng)n充分大以后，出現(xiàn){|p
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