高一數學三角函數的性質(編輯修改稿)
2024-12-17 21:28 本頁面
【文章內容簡介】 12. ∴ y ＝ 2 s i n (12x ＋ φ ) ． 又曲線上的最高點為 (π2， 2 ) ， ∴ si n (12π2＋ φ ) ＝ 1 ， ∴ φ ＋π4＝ 2 k π ＋π2， k ∈ Z . ∵ －π2 φ π2， ∴ φ ＝π4. ∴ y ＝ 2 si n (12x ＋π4) ． ( 2 ) 令 2 k π －π2≤12x ＋π4≤ 2 k π ＋π2， k ∈ Z ， ∴ 4 k π －3π2≤ x ≤ 4 k π ＋π2， k ∈ Z . ∴ 函數 y ＝ 2 si n (12x ＋π4) 的單調遞增區(qū)間為 [ 4 k π －3π2， 4 k π ＋π2]( k ∈ Z ) ． 令 2 k π ＋π2≤12x ＋π4≤3π2＋ 2 k π ， k ∈ Z ， ∴ 4 k π ＋π2≤ x ≤ 4 k π ＋5π2， k ∈ Z . ∴ 函數 y ＝ 2 s i n (12x ＋π4) 的單調遞減區(qū)間為 [ 4 k π ＋π2， 4 k π ＋5π2]( k ∈ Z ) ． 求形如 y ＝ A si n ( ωx ＋ φ )( A 0 ， ω 0 ) 的函數的單調區(qū)間 ，基本思路是把 ωx ＋ φ 看作一個整體，由－π2 ＋ 2 k π ≤ ωx ＋ φ ≤π2 ＋ 2 k π ( k ∈ Z ) 求得函數的增區(qū)間，由π2 ＋ 2 k π ≤ ωx ＋ φ ≤3π2 ＋ 2 k π ( k∈ Z ) 求得函數的減區(qū)間 ． 若在 y ＝ A si n ( ωx ＋ φ ) 中， ω 0 ，則應先利用誘導公式將解析式轉化，使 x 的系數變?yōu)檎龜?，再進行求解 ． 【 例題 】 已知向量 a＝ (cos x－ 3， sin x)， b＝ (cos x， sin x－ 3)， f(x)＝ ab. (1)求函數 f(x)的最小正周期及最值； (2)若 x∈ [－ π， 0]，求函數 f(x)的單調遞增區(qū)間． 解： ( 1 ) f ( x ) ＝ a b ＝ ( cos x － 3 ， si n x ) ( cos x ， si n x － 3 ) ＝ cos 2 x － 3cos x ＋ si n 2 x － 3s i n x ＝ 1 － 3 ( si n x ＋ cos x ) ＝ 1 － 3 2 si n ( x ＋π4) ， ∴ 函數 f ( x ) 的最小正周期為 2π ， 最大值為 1 ＋ 3 2 ， 最小值為 1 － 3 2 . ( 2 ) 由 ( 1 ) 得 f ( x ) ＝ 1 － 3 2 si n ( x ＋π4) ， 由 2 k π ＋π2≤ x ＋π4≤ 2 k π ＋3π2( k ∈ Z ) 得 2 k π ＋π4≤ x ≤ 2 k π ＋5π4( k ∈ Z ) ， 又 ∵ x ∈ [ － π ， 0] ， ∴ 函數 f ( x ) 的單調遞增區(qū)間為 [ － π ，－3π4] ． 錯源：忽視 “ 內 ”“ 外 ” 單調規(guī)律，盲目套用結論 【例題】 函數 y ＝ s i n ( － 2 x ＋ π3 ) 的遞減區(qū)間是 __ __ __ __ ． 錯解： 令 2 k π ＋π2≤ － 2 x ＋π3≤ 2 k π ＋3π2， 解得－ k π －7π12≤ x ≤ － k π －π12， k ∈ Z ， 所以函數的遞減區(qū)間是 [ － k π －7π12，－ k π －π12]( k ∈ Z ) ． 錯解分析： 本題的錯誤在于解題中沒有對函數 y ＝ s i n ( － 2 x ＋π3 ) 的解析式進行轉化，盲目套用結論而導致的，事實上，該函數是由 y ＝ s i n u ， u ＝－ 2 x ＋π3 兩個函數復合而成的，而 u＝－ 2 x ＋π3 是遞減的，這樣令 2 k π ＋π2 ≤ u ≤ 2 k π ＋3π2 ， k ∈ Z ，求得的并不是原函數的遞減區(qū)間 ． 正解： 由于 y ＝ si n ( － 2 x ＋π3) ＝－ si n ( 2 x －π3) ， 即求 y ＝－ si n ( 2 x －π3) 的單調遞減區(qū)間， 也就是求 v ＝ si n ( 2 x －π3) 的遞增區(qū)間， 由 2 k π －π2≤ 2 x －π3≤ 2 k π ＋π2， 得 k π －π12≤ x ≤ k π ＋5π12， ( k ∈ Z ) ． 故應填 [ k π －π12， k π ＋5π12]( k ∈ Z ) ． 答案： [ k π －π12， k π ＋5π12]( k ∈ Z ) (對應學生用書第 261頁 ) 【 選題明細表 】 知識點、方法 題號 三角函數的值域、最值 2 三角函數的周期、奇偶性 4 三角函數的單調性 9 性質的綜合應用 10 一、選擇題 1 ． ( 201 0 年湘潭五模 ) 函數 f ( x ) ＝ s i n 2 x － cos 2 x 的最小正周期是 ( B ) ( A )π2 ( B ) π ( C ) 2π ( D ) 4π 2 ． ( 2020 年高考江西卷 ) 若函數 f ( x ) ＝ ( 1 ＋ 3 t an x ) cos x , 0 ≤ x π2 ，
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