高一數(shù)學(xué)三角函數(shù)的性質(zhì)-免費(fèi)閱讀
【正文】 a2 ＋ b 2 ＝22 ( a － b ) ，兩邊平方整理得 a ＝－ b ，這時(shí) f ( x ) ＝ a s i n x ＋ a cos x ＝ 2 a s i n ( x ＋π4 ) ， y ＝ f (3π4 － x )＝ 2 a s i n ( π － x ) ＝ 2 a s i n x ，故其是奇函數(shù)，且圖象關(guān)于 ( π ， 0 ) 對(duì)稱 ． 故選 D. 二、填空題 7 ． ( 2020 年湖北聯(lián)考 ) 定義在 R 上的函數(shù) f ( x ) 既是偶函數(shù) ， 又是周期函數(shù) ， 若 f ( x ) 的最小正周期是 π ， 且當(dāng) x ∈ [ 0 ， π2 ] 時(shí) ， f ( x ) ＝ s i n x ， 則 f ( 53 π ) 的值為 __ ___ _ __ ． 解析： f (53π ) ＝ f ( π ＋23π ) ＝ f (23π ) ＝ f ( － π ＋23π ) ＝ f ( －π3) ＝ f (π3) ． 由已知當(dāng) x ∈ [ 0 ，π2] 時(shí)， f ( x ) ＝ si n x ， ∴ f (π3) ＝ si n π3＝32.即 f (53π ) ＝32. 答案：32 8 ． ( 2 0 1 0 年浙江五校一模改編 ) 函數(shù) y ＝ t a n (π4x －π2) 的部分圖象如 圖所示 ， 則 ( OA ― → ＋OB ― → ) b. (1)求函數(shù) f(x)的最小正周期及最值； (2)若 x∈ [－ π， 0]，求函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間． 解： ( 1 ) f ( x ) ＝ a ON ― → ＝ 0 ， 則π127π12－ A2＝ 0 ，所以 A ＝712π ， 因此 A ( 1 , 1 ) ＝ 5 ＋ 1 ＝ 6. 答案： 6 三、解答題 9 ． 已知函數(shù) f ( x ) ＝ 3 s i n ( ωx ＋ φ ) － c o s ( ωx ＋ φ )( 0 φ π ， ω 0 ) 為偶函數(shù) ， 且函數(shù) y ＝ f ( x )圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為π2. ( 1 ) 求 f (π8) 的值 ； ( 2 ) 將函數(shù) y ＝ f ( x ) 的圖象向右平移π6個(gè)單位后 ， 再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的 4 倍 ， 縱坐標(biāo)不變 ， 得到函數(shù) y ＝ g ( x ) 的圖象 ， 求 g ( x ) 的單調(diào)遞減區(qū)間 ． 解： ( 1 ) f ( x ) ＝ 3 si n ( ωx ＋ φ ) － c os ( ωx ＋ φ ) ＝ 2 [32si n ( ωx ＋ φ ) －12cos ( ωx ＋ φ )] ＝ 2si n ( ωx ＋ φ －π6) 因?yàn)?f ( x ) 為偶函數(shù) ， 所以對(duì) x ∈ R ， f ( － x ) ＝ f ( x ) 恒成立 ， 因此 si n ( － ωx ＋ φ －π6) ＝ si n ( ωx ＋ φ －π6) ． 返回目錄 備考指南 考點(diǎn)演練 典例研習(xí) 基礎(chǔ)梳理 即 － si n ωx cos ( φ －π6) ＋ cos ωx si n ( φ －π6) ＝ si n ωx cos ( φ －π6) ＋ cos ωx si n ( φ －π6) ， 整理得 si n ωx cos ( φ －π6) ＝ 0. 因?yàn)?ω 0 ， 且 x ∈ R ， 所以 cos ( φ －π6) ＝ 0. 又因?yàn)?0 φ π ， 故 φ －π6＝π2. 所以 f ( x ) ＝ 2si n ( ωx ＋π2) ＝ 2co s ωx . 由題意得2πω＝ 2 ON ― → ＝ 0 ， 則 A ( cos x ， si n x － 3 ) ＝ cos 2 x － 3cos x ＋ si n 2 x － 3s i n x ＝ 1 － 3 ( si n x ＋ cos x ) ＝ 1 － 3 2 si n ( x ＋π4) ， ∴ 函數(shù) f ( x ) 的最小正周期為 2π ， 最大值為 1 ＋ 3 2 ， 最小值為 1 － 3 2 . ( 2 ) 由 ( 1 ) 得 f ( x ) ＝ 1 － 3 2 si n ( x ＋π4) ， 由 2 k π ＋π2≤ x ＋π4≤ 2 k π ＋3π2( k ∈ Z ) 得 2 k π ＋π4≤ x ≤ 2 k π ＋5π4( k ∈ Z ) ， 又 ∵ x ∈ [ － π ， 0] ， ∴ 函數(shù) f ( x ) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 [ － π ，－3π4] ． 錯(cuò)源：忽視 “ 內(nèi) ”“ 外 ” 單調(diào)規(guī)律，盲目套用結(jié)論 【例題】 函數(shù) y ＝ s i n ( － 2 x ＋ π3 ) 的遞減區(qū)間是 __ __ __ __ ． 錯(cuò)解： 令 2 k π ＋π2≤ － 2 x ＋π3≤ 2 k π ＋3π2， 解得－ k π －7π12≤ x ≤ － k π －π12， k ∈ Z ， 所以函數(shù)的遞減區(qū)間是 [ － k π －7π12，－ k π －π12]( k ∈ Z ) ． 錯(cuò)解分析： 本題的錯(cuò)誤在于解題中沒有對(duì)函數(shù) y ＝ s i n ( － 2 x ＋π3 ) 的解析式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，盲目套用結(jié)論而導(dǎo)致的，事實(shí)上，該函數(shù)是由 y ＝ s i n u ， u ＝－ 2 x ＋π3 兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的，而 u＝－ 2 x ＋π3 是遞減的，這樣令 2 k π ＋π2 ≤ u ≤ 2 k π ＋3
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