高一數(shù)學(xué)三角函數(shù)的性質(zhì)-文庫(kù)吧在線文庫(kù)
【正文】 叫做這個(gè)函數(shù)的周期 ， 把所有周期中存在的最小正數(shù) ， 叫做 最小正周期 ( 函數(shù)的周期一般指最小正周期 ) ． 函數(shù) y ＝ A si n ( ωx ＋ φ ) 或 y＝ A cos ( ωx ＋ φ )( ω 0 且為常數(shù) ) 的周期 T ＝2πω， 函數(shù) y ＝ A t an ( ωx ＋ φ )( ω 0 ) 的周期 T ＝πω. 返回目錄 備考指南 考點(diǎn)演練 典例研習(xí) 基礎(chǔ)梳理 質(zhì)疑探究： 正切函數(shù) y ＝ t a n x 在定義域內(nèi)是增函數(shù)嗎 ？ 提示： 不是 ． 正切函數(shù) y ＝ t an x 在每一個(gè)區(qū)間 ( k π － π2 ， k π ＋ π2 )( k ∈ Z ) 上都是增函數(shù)，而在定義域內(nèi)沒(méi)有單調(diào)性 ． 1 ． ( 201 0 年高考湖北卷 ) 函數(shù) f ( x ) ＝ 3 s i n (x2－π4)( x ∈ R ) 的最小正周期是 ( D ) ( A )π2 ( B ) π ( C ) 2π ( D ) 4π 解析： T ＝2π12＝ 4π ，故選 D. 2 ． 若函數(shù) f ( x ) ＝ s i n ( 2 x ＋ φ ) 是偶函數(shù) ， 則 φ 的一個(gè)值為 ( B ) ( A ) φ ＝ π ( B ) φ ＝－π2 ( C ) φ ＝－π4 ( D ) φ ＝－π8 解析： 當(dāng) φ ＝－π2時(shí) f ( x ) ＝ s i n ( 2 x －π2) ＝－ cos 2 x 是偶函數(shù) ． 故選 B. 3 ． ( 2 0 1 0 年嘉興市測(cè)試卷 ) 已知函數(shù) f ( x ) ＝ s i n ( x －π2)( x ∈ R ) ， 下面結(jié)論錯(cuò)誤的是 ( C ) ( A ) 函數(shù) f ( x ) 的最小正周期是 2π ( B ) 函數(shù) f ( x ) 的圖象關(guān)于直線 x ＝ 0 對(duì)稱 ( C ) 函數(shù) f ( x ) 是奇函數(shù) ( D ) 函數(shù) f ( x ) 在 [ 0 ，π2] 上是增函數(shù) 解析： ∵ f ( x ) ＝ s i n ( x － π2 ) ＝－ cos x ， ∴ f ( x ) 是偶函數(shù)，故選 C. 4 ． ( 教材改編題 ) 給出下列函數(shù) ： ① y ＝ si n x ； ② y ＝ co s x ； ③ y ＝ t an 2 x ； ④ y ＝ si n ( x －π4) ． 其中在 [π4，π2] 上是增函數(shù)的是 __ ______ ． 解析： 結(jié)合圖象可知， y ＝ si n x 在 [π4，π2] 上是增函數(shù)， y ＝ cos x 在 [π4，π2] 上為減函數(shù)， y ＝t an 2 x 在 x ＝π4處無(wú)意義；所以它在 [π4，π2] 上不是增函數(shù) ． 若π4≤ x ≤π2，則 0 ≤ x －π4≤π4， ∴ y ＝si n ( x －π4) 在 [π4，π2] 為增函數(shù)，因此，符合要求的函數(shù)是 ①④ . 答案： ①④ ( 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第 53 ～ 54 頁(yè) ) 三角函數(shù)的值域和最值 【例 1 】 ( 20 10 年高考天津卷 ) 已知函數(shù) f ( x ) ＝ 2 3 si n x cos x ＋ 2 cos2x － 1 ( x ∈ R ) ． ( 1 ) 求函數(shù) f ( x ) 的最小正周期及在區(qū)間 [ 0 ，π2] 上的最大值和最小值 ； ( 2 ) 若 f ( x 0 ) ＝65， x 0 ∈ [π4，π2] ， 求 cos 2 x 0 的值 ． 審題指導(dǎo)： 解： ( 1 ) 由 f ( x ) ＝ 2 3 si n x cos x ＋ 2cos2x － 1 ， 得 f ( x ) ＝ 3 ( 2si n x cos x ) ＋ ( 2 cos2x － 1 ) ＝ 3 si n 2 x ＋ cos 2 x ＝ 2si n ( 2 x ＋π6) ． 運(yùn)用兩角和、差、二倍角正、余弦三角函數(shù)公式先對(duì) f ? x ? 進(jìn) 行化簡(jiǎn) 所以函數(shù) f ( x ) 的最小正周期為 π. 利用公式 T ＝2π|ω |求得 f ( x ) 的最小正周期 因?yàn)?f ( x ) ＝ 2si n ( 2 x ＋π6) 在區(qū)間 [ 0 ，π6] 上為增函數(shù) ， 在區(qū)間 [π6，π2] 上為減函數(shù) ， 判斷 f ( x ) 在 [ 0 ，π2] 上的單調(diào)變化規(guī)律 又 f ( 0 ) ＝ 1 ， f (π6) ＝ 2 ， f (π2) ＝－ 1 ， 求出 f ( x ) 在 [ 0 ，π2] 上的極值及區(qū) 間端點(diǎn)的函數(shù)值 所以函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間 [ 0 ，π2] 上的最大值為 2 ， 最小值為 － 1. 總結(jié)過(guò)程，呈現(xiàn)結(jié)論 ( 2 ) 由 ( 1 ) 可知 f ( x0) ＝ 2si n ( 2 x0＋π6) ． 又因?yàn)?f ( x0) ＝65， 所以 si n ( 2 x0＋π6) ＝35. 對(duì)條件 f ( x0) ＝65化簡(jiǎn) 由 x0∈ [π4，π2] ， 得 2 x0＋π6∈ [2π3，7π6] ． 從而 c os ( 2 x0＋π6) ＝－ 1 － si n2? 2 x0＋π6? ＝－45. 求出 cos ? 2 x0＋π6? ，將函數(shù)名稱與要求值函數(shù)化為
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