三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)(一輪復(fù)習(xí))-文庫(kù)吧在線文庫(kù)
【正文】 y ＝ t an( ωx ＋ φ ) 的最小正周期為π| ω |. 3 種方法 —— 求三角函數(shù)值域 ( 或最值 ) 的方法 4 個(gè)注意點(diǎn) —— 研究三角函數(shù)性質(zhì)應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)利用 sin x、 cos x的有界性； (2)形式復(fù)雜的函數(shù)應(yīng)化為 y＝ Asin(ωx＋ φ)＋ k的形式逐步分析 ωx＋ φ的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域； (3)換元法：把 sin x或 cos x看作一個(gè)整體，可化為求函數(shù)在區(qū)間上的值域 (最值 )問(wèn)題． (1)三角函數(shù)的圖象從形上完全反映了三角函數(shù)的性質(zhì)，求三角函數(shù)的定義域、值域時(shí)應(yīng)注意利用三角函數(shù)的圖象． (2)閉區(qū)間上最值或值域問(wèn)題 ， 首先要在定義域基礎(chǔ)上分析單調(diào)性 ， 含參數(shù)的最值問(wèn)題 ， 要討論參數(shù)對(duì)最值的影響 ． (3)利用換元法求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時(shí) ， 要注意 x系數(shù)的正負(fù) ． (4)利用換元法求三角函數(shù)最值時(shí)要注意三角函數(shù)的有界性 ， 如： y＝ sin2x－ 4sin x＋ 5， 令 t＝ sin x(|t|≤1)， 則 y＝ (t－ 2)2＋ 1≥1， 解法錯(cuò)誤 . 創(chuàng)新交匯 —— 與三角函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的交匯問(wèn)題 1．高考對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查不但有客觀題，還有主觀題，客觀題常以選擇題的形式出現(xiàn)，往往結(jié)合集合、數(shù)列、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等考查三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)；解答題主要與三角恒等變換、不等式等知識(shí)點(diǎn)的交匯處命題． 2．解決此類交匯問(wèn)題的關(guān)鍵有以下兩點(diǎn)： (1)熟記三角函數(shù)的性質(zhì)，主要為定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性等及有關(guān)結(jié)論． (2)要善于利用函數(shù)圖象的形象性和直觀性分析解決問(wèn)題． [ 典例 ] (2022牛刀小試 ] 1 ． ( 教材習(xí)題改編 ) 設(shè)函數(shù) f ( x ) ＝ sin??????2 x －π2 ， x ∈ R ，則 f ( x ) 是( ) 答案： B 解析： ∵ f ( x ) ＝ sin??????2 x －π2 ＝－ cos 2 x ， ∴ f ( x ) 是最小正周期為 π 的偶函數(shù)． A ．最小正周期為 π 的奇函數(shù) B ．最小正周期為 π 的偶函數(shù) C ．最小正周期為π2的奇函數(shù) D ．最小正周期為π2的偶函數(shù) 2 ． ( 教材習(xí)題改編 ) 函數(shù) y ＝ 4sin x ， x ∈ [ － π ， π] 的單調(diào)性是 ( ) 答案： B 解析： 由函數(shù) y ＝ 4sin x ， x ∈ [ － π ， π] 的圖象可知，該函數(shù)在??????－π2，π2上是增函數(shù)，在??????－ π ，－π2和??????π2， π 上是減函數(shù)． A ．在 [ － π ， 0] 上是增函數(shù)，在 [0 ， π] 上是減函數(shù) B ．在??????－π2，π2上是增函數(shù)，在??????－ π ，－π2和??????π2， π 上都是減 函數(shù) C ．在 [0 ， π] 上是增函數(shù)，在 [ － π ， 0] 上是減函數(shù) D ．在??????π2， π ∪??????－ π ，－π2上是增函數(shù)，在??????－π2，π2上是減函數(shù) 3 ．函數(shù) y ＝ cos x －12的定義域?yàn)? ( ) 解析 ： ∵ cos x －12≥ 0 ， 得 cos x ≥12， ∴ 2 k π －π3≤ x ≤ 2 k π ＋π3， k ∈ Z. 答案： C A.??????－π3，π3 B.??????k π －π3， k π ＋π3， k ∈ Z C.??????2 k π －π3， 2 k π ＋π3， k ∈ Z D ． R 答案： 4π 解析 ： 函數(shù) f ( x ) ＝ 3 sin??????x2－π4的最小正周期為 T ＝2 π12＝ 4 π . 4 ． ( 教材習(xí)題改編 ) 函數(shù) f ( x ) ＝ 3 sin??????x2 －π4 ， x ∈ R 的最小 正周期為 ________ ． 5 ． 函數(shù) y ＝ 3 － 2cos??????x ＋π4的最大值為 ____________ ，此時(shí)x ＝ ____________. 解析： 函數(shù) y ＝ 3 － 2cos??????x ＋π4的最大值為 3 ＋ 2 ＝ 5 ，此時(shí) x ＋π4＝ π ＋ 2 k π ，即 x ＝3π4＋ 2 k π( k ∈ Z) ． 答案： 5 3π4 ＋ 2 k π( k ∈ Z) 三角函數(shù)的定義域和值域 [ 例 1] (1) 求函數(shù) y ＝ lg(2sin x － 1) ＋ 1 － 2cos x 的定義域； (2) 求函數(shù) y ＝ 2cos 2 x ＋ 5sin x － 4 的值域． [ 自主解答 ] (1) 要使函數(shù)有意義，必須有 ????? 2sin x － 10 ，1 － 2cos x ≥ 0 ，即????? sin x 12，cos x ≤12， 解得????? π6＋ 2 k π x 5π6＋ 2 k π ，π3＋ 2 k π ≤ x ≤5π3＋ 2 k π( k ∈ Z) ， 即π3＋ 2 k π ≤ x ＜5π6＋ 2 k π( k ∈ Z) ． 故所求函數(shù)的定義域?yàn)??????π3＋ 2 k π ，5π6＋ 2 k π ( k ∈ Z) ． (2) y ＝ 2cos2x ＋ 5sin x － 4 ＝ 2(1 － sin2x ) ＋ 5sin x － 4 ＝－ 2sin2x ＋ 5sin x － 2 ＝－ 2??????sin x －542＋98. 故當(dāng) sin x ＝ 1 時(shí)， ymax＝ 1 ， 當(dāng) sin x ＝－ 1 時(shí)， ymin＝－ 9 ， 故 y ＝ 2cos2x ＋ 5sin x － 4 的值域?yàn)?[ － 9 , 1 ] ．
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