三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)(一輪復習)(存儲版)
【正文】 cos x ≥ 0. 利用圖象．在同一坐標系中畫出 [0 , 2 π ] 上 y ＝ sin x 和 y ＝ cos x 的圖象，如圖所示． 在 [0 , 2 π ] 內(nèi)，滿足 sin x ＝ cos x 的 x 為π4， 5π4，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是 2π ，所以定義域為 ??????x??? π4＋ 2 k π ≤ x ≤5π4＋ 2 k π ， k ∈ Z . 2 ．寫出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及周期： (1) y ＝ sin??????－ 2 x ＋π3 ； (2) y ＝ |tan x |. 解： (1) y ＝－ sin??????2 x －π3， 它的增區(qū)間是 y ＝ sin??????2 x －π3的減區(qū)間， 它的減區(qū)間是 y ＝ sin??????2 x －π3的增區(qū)間． 由 2 k π －π2≤ 2 x －π3≤ 2 k π ＋π2， k ∈ Z ， 得 k π －π12≤ x ≤ k π ＋5π12， k ∈ Z. 由 2 k π ＋π2≤ 2 x －π3≤ 2 k π ＋3π2， k ∈ Z ， 得 k π ＋5π12≤ x ≤ k π ＋1 1π12， k ∈ Z. 故所給函數(shù)的減區(qū)間為??????k π －π12， k π ＋5π12， k ∈ Z ； 增區(qū)間為??????k π ＋5π12， k π ＋1 1π12， k ∈ Z. 最小正周期 T ＝2π2＝ π. (2) 觀察圖象可知， y ＝ |tan x |的增區(qū)間是??????k π ， k π ＋π2 ， k ∈ Z ，減區(qū)間是??????k π －π2 ， k π ， k ∈ Z. 最小正周期： T ＝ π. 3 ．求下列函數(shù)的值域： (1) y ＝cos x ＋ 52 － cos x； (2) y ＝ sin 2 x － 4sin x ＋ 5. 解： (1) 由 y ＝cos x ＋ 52 － cos x，得 cos x ＝2 y － 5y ＋ 1. 因為－ 1 ≤ cos x ≤ 1 ， 所以－ 1 ≤2 y － 5y ＋ 1≤ 1 ，解得43≤ y ≤ 6. 因此，原函數(shù)的值域為??????43， 6 . (2) y ＝ sin 2 x － 4sin x ＋ 5 ＝ (sin x － 2) 2 ＋ 1. 因為－ 1 ≤ sin x ≤ 1 ，所以 2 ≤ y ≤ 10. 因此，原函數(shù)的值域為 [2 , 1 0 ] ． 4 ．設函數(shù) f ( x ) ＝ 3sin??????ωx ＋π6， ω ＞ 0 ， x ∈ ( － ∞ ，＋ ∞ ) ，且以π2為最小正周期． (1) 求 f (0) ； (2) 求 f ( x ) 的解析式； (3) 已知 f ??? ???α4 ＋ π12 ＝ 95 ，求 sin α 的值． 解： (1) 由題設可知 f (0) ＝ 3sinπ6＝32. (2) ∵ f ( x ) 的最小正周期為π2， ∴ ω ＝2ππ2＝ 4. ∴ f ( x ) ＝ 3sin??????4 x ＋π6. (3) ∵ f??????α4＋π12＝ 3sin??????α ＋π3＋π6＝ 3cos α ＝95， ∴ cos α ＝35， ∴ sin α ＝ 177。1 ， ∴φ3＝ k π ＋π2( k ∈ Z) ． ∴ φ ＝ 3 k π ＋3π2( k ∈ Z) ．只有 C 項符合． [答案 ] (1)C (2)A (3)C 提示： 令 x －π4＝ k π ， k ∈ Z ，則 x ＝π4＋ k π ， k ∈ Z. 故函數(shù) f ( x ) ＝ sin??????x －π4的對稱中心為??????π4＋ k π ， 0 ( k ∈ Z) ． 本例 (1)中函數(shù) f(x)的對稱中心是什么？ ————— ———————————— —————————————————————————— 函數(shù) f ( x ) ＝ A s in( ωx ＋ φ ) 的奇偶性、周期性及對稱性 ( 1) 若 f ( x ) ＝ A sin ( ωx ＋ φ ) 為偶函數(shù)，則當 x ＝ 0 時， f ( x )取得最大或最小值． 若 f ( x ) ＝ A sin ( ωx ＋ φ ) 為奇函數(shù)，則當 x ＝ 0 時， f ( x ) ＝ 0. ( 2) 對于函數(shù) y ＝ A sin ( ωx ＋ φ ) ，其對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點，對稱中心一定是函數(shù)的零點，因此在判斷直線 x ＝ x 0 或點 ( x 0, 0) 是否是函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心時，可通過檢驗 f ( x 0 ) 的值進行判斷． 3 ． (1) 函數(shù) y ＝ 2sin(3 x ＋ φ )??????| φ |＜π2 的一條對稱軸為 x ＝π12 ，則 φ＝ ________. (2) 函數(shù) y ＝ cos(3 x ＋ φ ) 的圖象關于原點成中心對稱圖形，則 φ ＝ ________. 解析： (1) 由 y ＝ sin x 的對稱軸為 x ＝ k π ＋π2( k ∈ Z) ，即3 π12＋ φ ＝ k π ＋π2( k ∈ Z) ，得 φ ＝ k π ＋π4( k ∈ Z) ． 又 | φ |＜π2，所以 k ＝ 0 ，故 φ ＝π4. 答案： (1)π4 (2) k π ＋π2 ， k ∈ Z (2) 由題意得， y ＝ cos(3 x ＋ φ ) 是奇函數(shù)，故 φ ＝ k π ＋π2 ， ( k∈ Z) ． 2 個性質(zhì) —— 周期性與奇偶性 ( 2) 奇偶性 三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為 y ＝ A s in ωx 或 y ＝ A t an ωx ，而偶函數(shù)一般可化為 y ＝ A c os ωx ＋ b 的形式． ( 1) 周期性 函數(shù) y ＝ A si n( ωx ＋ φ ) 和 y ＝ A c os( ωx ＋ φ ) 的最小正周期為2π| ω |，
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