高一數(shù)學(xué)三角函數(shù)的性質(zhì)(完整版)
【正文】 一致 所以 c os 2 x0＝ c os [( 2 x0＋π6) －π6] ＝ cos ( 2 x0＋π6) cos π6＋ si n ( 2 x0＋π6) si n π6＝3 － 4 310. 通過角的配湊，實現(xiàn)已知與未知的轉(zhuǎn)化，得出答案 求三角函數(shù)的最值問題，常用方法有：①轉(zhuǎn)化為關(guān)于弦的一次型函數(shù)，利用 sin x， cos x的有界性；②轉(zhuǎn)化為關(guān)于弦的二次型函數(shù)；③分式形式可考慮用基本不等式；④數(shù)形結(jié)合；⑤單調(diào)性；⑥求導(dǎo)數(shù)． 變式探究 11 ： ( 2 010 年高考北京卷 ) 已知函數(shù) f ( x ) ＝ 2 cos 2 x ＋ s i n 2 x － 4cos x ， ( 1 ) 求 f ( π3 ) 的 值 ； ( 2 ) 求 f ( x ) 的最大值和最小值 ． 解： ( 1 ) f (π3) ＝ 2c os 2π3＋ ( si n π3)2－ 4cos π3 ＝－ 1 ＋34－ 2 ＝－94. ( 2 ) ∵ f ( x ) ＝ 2 ( 2cos2x － 1 ) ＋ ( 1 － cos2x ) － 4 cos x ＝ 3cos2x － 4cos x － 1 ＝ 3 ( cos x －23)2－73， x ∈ R . 又 cos x ∈ [ － 1 ,1] ， ∴ 當 cos x ＝－ 1 時 ， f ( x ) 取得最大值 6 ； 當 cos x ＝23時 ， f ( x ) 取得最小值 －73. 三角函數(shù)的周期性、奇偶性 【例 2 】 已知函數(shù) f ( x ) ＝ 2 si n x4cos x4－ 2 3 si n2 x4＋ 3 ， ( 1 ) 求函數(shù) f ( x ) 的最小正周期及最值 ； ( 2 ) 令 g ( x ) ＝ f ( x ＋π3) ， 判斷函數(shù) g ( x ) 的奇偶性 ， 并說明理由 ． 思路點撥 ： ( 1 ) 先化簡函數(shù) f ( x ) 為 A s i n ( ωx ＋ φ ) 的形式，然后依據(jù)公式求周期，利用 s i n x的有界性求最值 ． ( 2 ) 化簡 g ( x ) ，再用定義判斷 g ( x ) 的奇偶性 ． 解： ( 1 ) ∵ f ( x ) ＝ si n x2＋ 3 ( 1 － 2 si n2x4) ＝ si n x2＋ 3 cos x2＝ 2si n (x2＋π3) ， ∴ f ( x ) 的最小正周期 T ＝2π12＝ 4 π . 當 s in (x2＋π3) ＝－ 1 時 ， f ( x ) 取得最小值 － 2 ； 當 si n (x2＋π3) ＝ 1 時 ， f ( x ) 取得最大值 2. ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 f ( x ) ＝ 2si n (x2＋π3) ， 又 g ( x ) ＝ f ( x ＋π3) ， ∴ g ( x ) ＝ 2si n [12( x ＋π3) ＋π3] ＝ 2si n (x2＋π2) ＝ 2cos x2. ∵ g ( － x ) ＝ 2cos ( －x2) ＝ 2cos x2＝ g ( x ) ， ∴ 函數(shù) g ( x ) 是偶函數(shù) ． 求三角函數(shù)的周期時，要先對解析式進行化簡，化為 y ＝ A s i n ( ωx ＋ φ ) 或 y＝ A t an ( ωx ＋ φ ) 的形式，再利用公式 T ＝ 2π|ω |或 T ＝ π|ω |求解 ． 有時也可根據(jù)函數(shù)的圖象，通過觀察求得周期 ． 變式探究 21 ： ( 20 09 年高考廣東卷 ) 函數(shù) y ＝ 2cos2( x －π4) － 1 是 ( ) ( A ) 最小正周期為 π 的奇函數(shù) ( B ) 最小正周期為π2的奇函數(shù) ( C ) 最小正周期為 π 的偶函數(shù) ( D ) 最小正周期為π2的偶函數(shù) 解析： ∵ y ＝ cos ( 2 x － π2 ) ＝ cos ( π2 － 2 x ) ＝ s i n 2 x ， ∴ T ＝ π ，且 s i n ( － 2 x ) ＝－ s i n 2 x ， ∴ f ( x ) 是奇函數(shù)，故選 A. 三角函數(shù)的單調(diào)性 【例 3 】 已知曲線 y ＝ A s i n ( ωx ＋ φ )( A 0 ， ω 0 ) 上的一個最高點的坐標為 (π2， 2 ) ， 由此點到相鄰最低點間的曲線與 x 軸交于點 (32π ， 0 ) ， 若 φ ∈ ( －π2，π2) ． ( 1 ) 試求這條曲線的函數(shù)解析式 ； ( 2 ) 寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 ． 思路點撥：通過已知條件可求得 A的值和周期，從而求得 ω，再結(jié)合一個點的坐標求出φ即可得解析式，從而求出單調(diào)區(qū)間． 解： ( 1 ) 依題意 ， A ＝ 2 ， T ＝ 4 (3π2－π2) ＝ 4π ， ∵ T ＝2π|ω |＝ 4π ， ω 0 ， ∴ ω ＝12. ∴ y ＝ 2 s i n (12x ＋ φ ) ． 又曲線上的最高點為 (π2， 2 ) ， ∴ si n (12π2＋ φ ) ＝ 1 ， ∴ φ ＋π4＝ 2 k π ＋π2， k ∈ Z . ∵ －π2 φ π2， ∴ φ ＝π4. ∴ y ＝ 2 si
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