三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)(一輪復(fù)習(xí))(完整版)
【正文】 ————— ———————————— —————————————————————————— 1 ． 三角函數(shù)定義域的求法 求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解． 2 ． 三角函數(shù)值域的求法 求解三角函數(shù)的值域 ( 最值 ) 常見到以下幾種類型的題目： ( 1 )形如 y ＝ a s i n x ＋ b c os x ＋ c 的三角函數(shù)化為 y ＝ A s i n( ωx ＋ φ ) ＋ k 的形式，再求最值 ( 值域 ) ； ( 2 ) 形如 y ＝ a si n2x ＋ b si n x ＋ c 的三角函數(shù)，可先設(shè) s i n x ＝ t ，化為關(guān)于 t 的二次函數(shù)求值域 ( 最值 ) ； ( 3 ) 形如 y＝ a s i n x cos x ＋ b ( s i n x 177。 sin??????－2π3－ cos??????－2π3＝－ 1 ， 即－34a ＋12＝－ 1 ，得 a ＝ 2 3 . 于是 f ( x ) ＝ 3 sin 2 x － cos 2 x ＝ 2sin??????2 x －π6. 由于 x ∈??????π4，11 π24， 所以 2 x －π6∈??????π3，3 π4， 因此當(dāng) 2 x －π6＝π2即 x ＝π3時(shí) f ( x ) 取得最大值 f??????π3＝ 2 ， 當(dāng) 2 x －π6＝3π4即 x ＝1 1π24時(shí) f ( x ) 取得最小值 f??????1 1π24＝ 2 . 三角函數(shù)的單調(diào)性 [ 例 2] 求下列函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間： (1) y ＝ 2sin??????x －π4； (2) y ＝ tan ??? ???π3 － 2 x . [ 自主解答 ] (1) 由 2 k π ＋π2≤ x －π4≤ 2 k π ＋3π2， k ∈ Z ， 得 2 k π ＋3π4≤ x ≤ 2 k π ＋7π4， k ∈ Z. 故函數(shù) y ＝ 2sin??????x －π4的單調(diào)減區(qū)間為 ??????2 k π ＋3π4， 2 k π ＋7π4( k ∈ Z) ． ( 2) 把函數(shù) y ＝ t an??????π3－ 2 x 變?yōu)?y ＝－ t an??????2 x －π3. 由 k π －π22 x －π3 k π ＋π2， k ∈ Z ， 得 k π －π62 x k π ＋5π6， k ∈ Z ， 即k π2－π12 x k π2＋5π12， k ∈ Z. 故函數(shù) y ＝ tan??????π3－ 2 x 的單調(diào)減區(qū)間為 ??????k π2－π12，k π2＋5π12( k ∈ Z) ． 若將本例 (1) 改為 “ y ＝ 2??????sin??????x －π4” ，如何求解？ 解： 畫出函數(shù) y ＝ 2??????sin??????x －π4的圖象，易知其單調(diào)遞減區(qū)間為??????k π ＋3π4， k π ＋5π4( k ∈ Z) ． ————— ———————————— ———————————————————————— 1 ． 三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法 求形如 y ＝ A sin ( ωx ＋ φ ) 或 y ＝ A c os( ωx ＋ φ )( 其中 A ≠ 0 ，ω ＞ 0) 的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過解 不等式的方法去解答．列不等式的原則是： ① 把 “ ωx ＋ φ ( ω ＞ 0) ” 視為一個(gè)“ 整體 ” ； ② A ＞ 0( A ＜ 0) 時(shí)，所列不等式的方向與 y ＝ sin x ( x∈ R) ， y ＝ c os x ( x ∈ R) 的單調(diào)區(qū)間對(duì)應(yīng)的不等式方向相同( 反 ) ．對(duì)于 y ＝ A t an( ωx ＋ φ )( A 、 ω 、 φ 為常數(shù) ) ，其周期 T ＝π| ω |，單調(diào)區(qū)間利用 ωx ＋ φ ∈??????k π －π2， k π ＋π2，解出 x 的取值范圍，即為其單調(diào)區(qū)間． ————— ———————————— ———————————————————————— 2 ． 復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法 對(duì)于復(fù)合函數(shù) y ＝ f ( v ) ， v ＝ φ ( x ) ，其單調(diào)性判定方法是：若 y ＝ f ( v ) 和 v ＝ φ ( x ) 同為增 ( 減 ) 函數(shù)時(shí)， y ＝ f ( φ ( x )) 為增函數(shù)；若 y ＝ f ( v ) 和 v ＝ φ ( x ) 一增一減時(shí)， y ＝ f ( φ ( x )) 為減函數(shù)． 3. 含絕對(duì)值的三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法 求含有絕對(duì)值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時(shí)，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定 . 2 ．若函數(shù) f ( x ) ＝ sin ωx ( ω ＞ 0) 在區(qū)間??????0 ，π3上單調(diào)遞增，在區(qū)間??????π3，π2上單調(diào)遞減，則 ω 等于 ( ) A ． 3 B ． 2 C.32 D.23 解析： ∵ y ＝ sin ωx ( ω ＞ 0) 過原點(diǎn)， ∴ 當(dāng) 0 ≤ ωx ≤π2，即 0 ≤ x ≤π2 ω時(shí)． y ＝ sin ωx 是增函數(shù)； 當(dāng)π2≤ ωx ≤3π2，即π2 ω≤ x ≤3π2 ω時(shí)， y ＝ sin ωx 是減函數(shù)． 由 y ＝ sin ωx ( ω ＞ 0) 在??????0 ，π3上單調(diào)遞增， 在??????π3，π2上單調(diào)遞減知，π2 ω
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