【文章內容簡介】 中次數(shù)最多的組為7074，其眾數(shù)為72。觀察法所確定的眾數(shù)是非常粗略的，故又粗略眾數(shù)，一般不宜多用，即使采用了，解釋時也要非常慎重。（二）計算法從理論上來說，眾數(shù)是與次數(shù)分布理論曲線最高點相對應下的橫坐標上的一點，但是理論上的眾數(shù)求解方法太復雜，而粗略眾數(shù)又太不穩(wěn)定，折中的方法是常采用經(jīng)驗公式來尋找理論眾數(shù)的近似值。常用的經(jīng)驗公式是皮爾遜經(jīng)驗公式和金氏插補公式。1．皮爾遜經(jīng)驗公式。英國統(tǒng)計學家皮爾遜（K Pearson）研究發(fā)現(xiàn)，均數(shù)、眾數(shù)、中數(shù)之間存在著一定的聯(lián)系，當一組數(shù)據(jù)的分布呈正態(tài)分布或近似正態(tài)分布時，眾數(shù)會近似地等于三倍的中數(shù)減去2倍的均數(shù)，即有 如例34，中數(shù)為73，則其眾數(shù)為 金氏（W I King）插補法。如果眾數(shù)所在組以上各組次數(shù)的總和與以下各組次數(shù)的總和相差較大時，即次數(shù)分布呈偏態(tài)分布時需用金氏插補法，其公式為 式中為眾所在組的精確下限，為眾數(shù)所在組上一組的次數(shù)，為眾數(shù)所在組下一組的次數(shù)。例35：某大學數(shù)學系106名學生在一次概率論的考試中成績分布如表34所示，試問其眾數(shù)是多少？表34 106名學生概率論考試成績次數(shù)分布表90948589808475797074656960645559505413515212618107106由上表可知，次數(shù)出現(xiàn)最多的組為6569，共26次，故有，四、均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)的關系與應用（一）均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)的關系均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)的大小與次數(shù)分布的形態(tài)有關。當次數(shù)分布為正態(tài)分布時，均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)落在橫坐標上重合為1點，三個指標值相等，即當次數(shù)分布為偏態(tài)分布時，中數(shù)居于眾數(shù)與均數(shù)的中間，且均數(shù)與中數(shù)的距離約占均數(shù)與眾數(shù)的距離的三分之之一，中數(shù)與眾數(shù)的距離約占均數(shù)與眾數(shù)距離的三分之二，即 正偏態(tài)分布時，；負偏態(tài)分布時，詳見圖31所示。圖32 不同分布均數(shù)、中數(shù)與眾數(shù)的位置（二）均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)的比較與應用作為度量數(shù)據(jù)分布集中趨勢的指標，均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)各有其特點和用途。在實際應用中究竟選用哪種指標比較合適是由所研究問題本身和集中量數(shù)各自的特點所決定的。作為優(yōu)良集中量數(shù)應當具備六個條件，一是感應靈敏，即一群數(shù)據(jù)中任何一個數(shù)值的變動都會影響集中量跟著一起變動；二是嚴密確定，即該集中量指標應由全部觀測值計算得來，而且同一組數(shù)用該指標不同計算方法計算出結果相同，如用定義式或計算式或加權式計算的結果相同。三是意義簡明，易于理解，即其方法不應帶有過多的數(shù)學抽象性質。四是容易計算，即在其他條件相同的情況下，則以計算簡便作為選擇的依據(jù)。五是適合代數(shù)法則的處理，即可以用數(shù)學性質處理或簡化數(shù)據(jù)。六是受抽樣變動的影響較小，即從同一總體中抽取的多個樣本，其各樣本的計算結果相同。均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)的優(yōu)缺點及應用詳見表35。表35 均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)的優(yōu)缺點及應用比較表均 數(shù)中 數(shù)眾 數(shù)優(yōu)點1．符合優(yōu)良集中量的①②③④⑤⑥2．已知和，即可求3．便于進行加權處理4．統(tǒng)計推斷的結果更可靠、穩(wěn)定1．符合優(yōu)良集中量的②③④⑥2．少受極端數(shù)值的影響1．符合優(yōu)良集中量的③應用1．加權平均數(shù)2．離差、相關計算，進行統(tǒng)計推斷3．考試評估1．有極端數(shù)值時2．測量單位的性質有懷疑3．上下端距離不確定4．采用百分體制時1．粗略估計數(shù)據(jù)的集中量2．出現(xiàn)多峰分布時不足1．易受極端值的影響2．組距不確定時無法計算1．易受抽樣偏差影響2．不適合代數(shù)法處理使用價值很少第四節(jié) 幾何平均數(shù)和倒數(shù)平均數(shù)一、幾何平均數(shù)（一）幾何平均數(shù)的定義 幾何平均數(shù)（geometric mean）是幾個變量值乘積的次方根，用符號或表示。設，，……，為變量值，為變量值的個數(shù)，表示連乘積的符號，則有開次方是一種麻煩的計算，在實際中應用中有兩種主要方法，一是利用計算器直接開次方；二是利用常用對數(shù)進行計算，即在公式兩邊取常用對數(shù)。幾何平均數(shù)在使用上有著特殊的前提，一般來說變量值為比率，且各比率用環(huán)比形式表示時使用。（二）幾何平均數(shù)的應用 1．偏態(tài)分布。當一個數(shù)據(jù)分布呈偏態(tài)時，可以用幾何平均數(shù)來描述數(shù)據(jù)的集中趨勢，因為它受極端值的影響小于算術平均數(shù)和調和平均數(shù)。雖然中數(shù)也可處理偏態(tài)分布的情況，但是它并不是以全部數(shù)據(jù)作為計算的內容，缺乏嚴密確定性。例如有一群數(shù)據(jù)為2，4，5，5，7，10，35，用均數(shù)、中數(shù)和幾何平均數(shù)計算出來的結果是不同的，其中均數(shù)的計算結果最大，有高估集中趨勢的傾向；中數(shù)的計算結果最小，又有低估集中趨勢的傾向；而幾何平均數(shù)居中，代表性較好。 2．心理物理學等距或比率量表的實驗數(shù)據(jù)例36：一心理學工作者研究介于和之間的感覺刺激是多少。他隨機抽取6名被試，讓他們調節(jié)一個可變的物理刺激，使所產(chǎn)生的感覺剛好處于和之間，并測量了所調節(jié)刺激量。6名被試的實驗結果為，求介于和兩種感覺之間的平均刺激量。3．計算平均增長率、進步率、提高率等在一組數(shù)據(jù)中，若后一個數(shù)據(jù)以前一個數(shù)據(jù)為基礎或呈現(xiàn)比率增長時，需用幾何平均數(shù)來求其平均增長率。在教育與心理的研究中，研究諸如如學齡兒童、學校人數(shù)的增長率，學校經(jīng)費的增加率，學習或閱讀水平或能力的進步率、提高率等等均需用到幾何平均數(shù)。求平均增長率、進步率等，首先需了解并掌握有關發(fā)展速度和增長速度等有關概念及其計算方法。發(fā)展速度是以報告期的發(fā)展水平（）除以基期的發(fā)展水平（）乘以百分之百，即增長速度則用發(fā)展速度減去1。發(fā)展速度是比較不同時期的同一現(xiàn)象，用以表明同類現(xiàn)象在不同時期的變動或發(fā)展程度，又稱動態(tài)相對指標。具體來說，它是用兩個不同時期發(fā)展水平的對比而獲得的，說明報告期水平已發(fā)展到或增加到基期水平的若干倍（或百分之幾）。發(fā)展水平則是反映教育或心理現(xiàn)象在各個時期所達到的規(guī)?；蛩剑菚r間序列中的每一項具體指標數(shù)值。例37：某師范大學教科院1995年本科生的招生人數(shù)為66人，2004年的招生人數(shù)為157人，求1995年到2004年