【文章內(nèi)容簡介】 中次數(shù)最多的組為7074，其眾數(shù)為72。觀察法所確定的眾數(shù)是非常粗略的，故又粗略眾數(shù)，一般不宜多用，即使采用了，解釋時也要非常慎重。（二）計算法從理論上來說，眾數(shù)是與次數(shù)分布理論曲線最高點相對應(yīng)下的橫坐標上的一點，但是理論上的眾數(shù)求解方法太復(fù)雜，而粗略眾數(shù)又太不穩(wěn)定，折中的方法是常采用經(jīng)驗公式來尋找理論眾數(shù)的近似值。常用的經(jīng)驗公式是皮爾遜經(jīng)驗公式和金氏插補公式。1．皮爾遜經(jīng)驗公式。英國統(tǒng)計學家皮爾遜（K Pearson）研究發(fā)現(xiàn)，均數(shù)、眾數(shù)、中數(shù)之間存在著一定的聯(lián)系，當一組數(shù)據(jù)的分布呈正態(tài)分布或近似正態(tài)分布時，眾數(shù)會近似地等于三倍的中數(shù)減去2倍的均數(shù)，即有 如例34，中數(shù)為73，則其眾數(shù)為 金氏（W I King）插補法。如果眾數(shù)所在組以上各組次數(shù)的總和與以下各組次數(shù)的總和相差較大時，即次數(shù)分布呈偏態(tài)分布時需用金氏插補法，其公式為 式中為眾所在組的精確下限，為眾數(shù)所在組上一組的次數(shù)，為眾數(shù)所在組下一組的次數(shù)。例35：某大學數(shù)學系106名學生在一次概率論的考試中成績分布如表34所示，試問其眾數(shù)是多少？表34 106名學生概率論考試成績次數(shù)分布表90948589808475797074656960645559505413515212618107106由上表可知，次數(shù)出現(xiàn)最多的組為6569，共26次，故有，四、均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)的關(guān)系與應(yīng)用（一）均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)的關(guān)系均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)的大小與次數(shù)分布的形態(tài)有關(guān)。當次數(shù)分布為正態(tài)分布時，均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)落在橫坐標上重合為1點，三個指標值相等，即當次數(shù)分布為偏態(tài)分布時，中數(shù)居于眾數(shù)與均數(shù)的中間，且均數(shù)與中數(shù)的距離約占均數(shù)與眾數(shù)的距離的三分之之一，中數(shù)與眾數(shù)的距離約占均數(shù)與眾數(shù)距離的三分之二，即 正偏態(tài)分布時，；負偏態(tài)分布時，詳見圖31所示。圖32 不同分布均數(shù)、中數(shù)與眾數(shù)的位置（二）均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)的比較與應(yīng)用作為度量數(shù)據(jù)分布集中趨勢的指標，均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)各有其特點和用途。在實際應(yīng)用中究竟選用哪種指標比較合適是由所研究問題本身和集中量數(shù)各自的特點所決定的。作為優(yōu)良集中量數(shù)應(yīng)當具備六個條件，一是感應(yīng)靈敏，即一群數(shù)據(jù)中任何一個數(shù)值的變動都會影響集中量跟著一起變動；二是嚴密確定，即該集中量指標應(yīng)由全部觀測值計算得來，而且同一組數(shù)用該指標不同計算方法計算出結(jié)果相同，如用定義式或計算式或加權(quán)式計算的結(jié)果相同。三是意義簡明，易于理解，即其方法不應(yīng)帶有過多的數(shù)學抽象性質(zhì)。四是容易計算，即在其他條件相同的情況下，則以計算簡便作為選擇的依據(jù)。五是適合代數(shù)法則的處理，即可以用數(shù)學性質(zhì)處理或簡化數(shù)據(jù)。六是受抽樣變動的影響較小，即從同一總體中抽取的多個樣本，其各樣本的計算結(jié)果相同。均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)的優(yōu)缺點及應(yīng)用詳見表35。表35 均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)的優(yōu)缺點及應(yīng)用比較表均 數(shù)中 數(shù)眾 數(shù)優(yōu)點1．符合優(yōu)良集中量的①②③④⑤⑥2．已知和，即可求3．便于進行加權(quán)處理4．統(tǒng)計推斷的結(jié)果更可靠、穩(wěn)定1．符合優(yōu)良集中量的②③④⑥2．少受極端數(shù)值的影響1．符合優(yōu)良集中量的③應(yīng)用1．加權(quán)平均數(shù)2．離差、相關(guān)計算，進行統(tǒng)計推斷3．考試評估1．有極端數(shù)值時2．測量單位的性質(zhì)有懷疑3．上下端距離不確定4．采用百分體制時1．粗略估計數(shù)據(jù)的集中量2．出現(xiàn)多峰分布時不足1．易受極端值的影響2．組距不確定時無法計算1．易受抽樣偏差影響2．不適合代數(shù)法處理使用價值很少第四節(jié) 幾何平均數(shù)和倒數(shù)平均數(shù)一、幾何平均數(shù)（一）幾何平均數(shù)的定義 幾何平均數(shù)（geometric mean）是幾個變量值乘積的次方根，用符號或表示。設(shè)，，……，為變量值，為變量值的個數(shù)，表示連乘積的符號，則有開次方是一種麻煩的計算，在實際中應(yīng)用中有兩種主要方法，一是利用計算器直接開次方；二是利用常用對數(shù)進行計算，即在公式兩邊取常用對數(shù)。幾何平均數(shù)在使用上有著特殊的前提，一般來說變量值為比率，且各比率用環(huán)比形式表示時使用。（二）幾何平均數(shù)的應(yīng)用 1．偏態(tài)分布。當一個數(shù)據(jù)分布呈偏態(tài)時，可以用幾何平均數(shù)來描述數(shù)據(jù)的集中趨勢，因為它受極端值的影響小于算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)。雖然中數(shù)也可處理偏態(tài)分布的情況，但是它并不是以全部數(shù)據(jù)作為計算的內(nèi)容，缺乏嚴密確定性。例如有一群數(shù)據(jù)為2，4，5，5，7，10，35，用均數(shù)、中數(shù)和幾何平均數(shù)計算出來的結(jié)果是不同的，其中均數(shù)的計算結(jié)果最大，有高估集中趨勢的傾向；中數(shù)的計算結(jié)果最小，又有低估集中趨勢的傾向；而幾何平均數(shù)居中，代表性較好。 2．心理物理學等距或比率量表的實驗數(shù)據(jù)例36：一心理學工作者研究介于和之間的感覺刺激是多少。他隨機抽取6名被試，讓他們調(diào)節(jié)一個可變的物理刺激，使所產(chǎn)生的感覺剛好處于和之間，并測量了所調(diào)節(jié)刺激量。6名被試的實驗結(jié)果為，求介于和兩種感覺之間的平均刺激量。3．計算平均增長率、進步率、提高率等在一組數(shù)據(jù)中，若后一個數(shù)據(jù)以前一個數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)或呈現(xiàn)比率增長時，需用幾何平均數(shù)來求其平均增長率。在教育與心理的研究中，研究諸如如學齡兒童、學校人數(shù)的增長率，學校經(jīng)費的增加率，學習或閱讀水平或能力的進步率、提高率等等均需用到幾何平均數(shù)。求平均增長率、進步率等，首先需了解并掌握有關(guān)發(fā)展速度和增長速度等有關(guān)概念及其計算方法。發(fā)展速度是以報告期的發(fā)展水平（）除以基期的發(fā)展水平（）乘以百分之百，即增長速度則用發(fā)展速度減去1。發(fā)展速度是比較不同時期的同一現(xiàn)象，用以表明同類現(xiàn)象在不同時期的變動或發(fā)展程度，又稱動態(tài)相對指標。具體來說，它是用兩個不同時期發(fā)展水平的對比而獲得的，說明報告期水平已發(fā)展到或增加到基期水平的若干倍（或百分之幾）。發(fā)展水平則是反映教育或心理現(xiàn)象在各個時期所達到的規(guī)?；蛩?，它是時間序列中的每一項具體指標數(shù)值。例37：某師范大學教科院1995年本科生的招生人數(shù)為66人，2004年的招生人數(shù)為157人，求1995年到2004年