心理統(tǒng)計(jì)學(xué)第三章(編輯修改稿)
2024-08-31 16:26 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 中次數(shù)最多的組為7074，其眾數(shù)為72。觀察法所確定的眾數(shù)是非常粗略的，故又粗略眾數(shù)，一般不宜多用，即使采用了，解釋時(shí)也要非常慎重。（二）計(jì)算法從理論上來(lái)說(shuō)，眾數(shù)是與次數(shù)分布理論曲線最高點(diǎn)相對(duì)應(yīng)下的橫坐標(biāo)上的一點(diǎn)，但是理論上的眾數(shù)求解方法太復(fù)雜，而粗略眾數(shù)又太不穩(wěn)定，折中的方法是常采用經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)尋找理論眾數(shù)的近似值。常用的經(jīng)驗(yàn)公式是皮爾遜經(jīng)驗(yàn)公式和金氏插補(bǔ)公式。1．皮爾遜經(jīng)驗(yàn)公式。英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜（K Pearson）研究發(fā)現(xiàn)，均數(shù)、眾數(shù)、中數(shù)之間存在著一定的聯(lián)系，當(dāng)一組數(shù)據(jù)的分布呈正態(tài)分布或近似正態(tài)分布時(shí)，眾數(shù)會(huì)近似地等于三倍的中數(shù)減去2倍的均數(shù)，即有 如例34，中數(shù)為73，則其眾數(shù)為 金氏（W I King）插補(bǔ)法。如果眾數(shù)所在組以上各組次數(shù)的總和與以下各組次數(shù)的總和相差較大時(shí)，即次數(shù)分布呈偏態(tài)分布時(shí)需用金氏插補(bǔ)法，其公式為 式中為眾所在組的精確下限，為眾數(shù)所在組上一組的次數(shù)，為眾數(shù)所在組下一組的次數(shù)。例35：某大學(xué)數(shù)學(xué)系106名學(xué)生在一次概率論的考試中成績(jī)分布如表34所示，試問(wèn)其眾數(shù)是多少？表34 106名學(xué)生概率論考試成績(jī)次數(shù)分布表90948589808475797074656960645559505413515212618107106由上表可知，次數(shù)出現(xiàn)最多的組為6569，共26次，故有，四、均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)的關(guān)系與應(yīng)用（一）均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)的關(guān)系均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)的大小與次數(shù)分布的形態(tài)有關(guān)。當(dāng)次數(shù)分布為正態(tài)分布時(shí)，均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)落在橫坐標(biāo)上重合為1點(diǎn)，三個(gè)指標(biāo)值相等，即當(dāng)次數(shù)分布為偏態(tài)分布時(shí)，中數(shù)居于眾數(shù)與均數(shù)的中間，且均數(shù)與中數(shù)的距離約占均數(shù)與眾數(shù)的距離的三分之之一，中數(shù)與眾數(shù)的距離約占均數(shù)與眾數(shù)距離的三分之二，即 正偏態(tài)分布時(shí)，；負(fù)偏態(tài)分布時(shí)，詳見(jiàn)圖31所示。圖32 不同分布均數(shù)、中數(shù)與眾數(shù)的位置（二）均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)的比較與應(yīng)用作為度量數(shù)據(jù)分布集中趨勢(shì)的指標(biāo)，均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)各有其特點(diǎn)和用途。在實(shí)際應(yīng)用中究竟選用哪種指標(biāo)比較合適是由所研究問(wèn)題本身和集中量數(shù)各自的特點(diǎn)所決定的。作為優(yōu)良集中量數(shù)應(yīng)當(dāng)具備六個(gè)條件，一是感應(yīng)靈敏，即一群數(shù)據(jù)中任何一個(gè)數(shù)值的變動(dòng)都會(huì)影響集中量跟著一起變動(dòng)；二是嚴(yán)密確定，即該集中量指標(biāo)應(yīng)由全部觀測(cè)值計(jì)算得來(lái)，而且同一組數(shù)用該指標(biāo)不同計(jì)算方法計(jì)算出結(jié)果相同，如用定義式或計(jì)算式或加權(quán)式計(jì)算的結(jié)果相同。三是意義簡(jiǎn)明，易于理解，即其方法不應(yīng)帶有過(guò)多的數(shù)學(xué)抽象性質(zhì)。四是容易計(jì)算，即在其他條件相同的情況下，則以計(jì)算簡(jiǎn)便作為選擇的依據(jù)。五是適合代數(shù)法則的處理，即可以用數(shù)學(xué)性質(zhì)處理或簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)。六是受抽樣變動(dòng)的影響較小，即從同一總體中抽取的多個(gè)樣本，其各樣本的計(jì)算結(jié)果相同。均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)及應(yīng)用詳見(jiàn)表35。表35 均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)及應(yīng)用比較表均 數(shù)中 數(shù)眾 數(shù)優(yōu)點(diǎn)1．符合優(yōu)良集中量的①②③④⑤⑥2．已知和，即可求3．便于進(jìn)行加權(quán)處理4．統(tǒng)計(jì)推斷的結(jié)果更可靠、穩(wěn)定1．符合優(yōu)良集中量的②③④⑥2．少受極端數(shù)值的影響1．符合優(yōu)良集中量的③應(yīng)用1．加權(quán)平均數(shù)2．離差、相關(guān)計(jì)算，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷3．考試評(píng)估1．有極端數(shù)值時(shí)2．測(cè)量單位的性質(zhì)有懷疑3．上下端距離不確定4．采用百分體制時(shí)1．粗略估計(jì)數(shù)據(jù)的集中量2．出現(xiàn)多峰分布時(shí)不足1．易受極端值的影響2．組距不確定時(shí)無(wú)法計(jì)算1．易受抽樣偏差影響2．不適合代數(shù)法處理使用價(jià)值很少第四節(jié) 幾何平均數(shù)和倒數(shù)平均數(shù)一、幾何平均數(shù)（一）幾何平均數(shù)的定義 幾何平均數(shù)（geometric mean）是幾個(gè)變量值乘積的次方根，用符號(hào)或表示。設(shè)，，……，為變量值，為變量值的個(gè)數(shù)，表示連乘積的符號(hào)，則有開(kāi)次方是一種麻煩的計(jì)算，在實(shí)際中應(yīng)用中有兩種主要方法，一是利用計(jì)算器直接開(kāi)次方；二是利用常用對(duì)數(shù)進(jìn)行計(jì)算，即在公式兩邊取常用對(duì)數(shù)。幾何平均數(shù)在使用上有著特殊的前提，一般來(lái)說(shuō)變量值為比率，且各比率用環(huán)比形式表示時(shí)使用。（二）幾何平均數(shù)的應(yīng)用 1．偏態(tài)分布。當(dāng)一個(gè)數(shù)據(jù)分布呈偏態(tài)時(shí)，可以用幾何平均數(shù)來(lái)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，因?yàn)樗軜O端值的影響小于算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)。雖然中數(shù)也可處理偏態(tài)分布的情況，但是它并不是以全部數(shù)據(jù)作為計(jì)算的內(nèi)容，缺乏嚴(yán)密確定性。例如有一群數(shù)據(jù)為2，4，5，5，7，10，35，用均數(shù)、中數(shù)和幾何平均數(shù)計(jì)算出來(lái)的結(jié)果是不同的，其中均數(shù)的計(jì)算結(jié)果最大，有高估集中趨勢(shì)的傾向；中數(shù)的計(jì)算結(jié)果最小，又有低估集中趨勢(shì)的傾向；而幾何平均數(shù)居中，代表性較好。 2．心理物理學(xué)等距或比率量表的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)例36：一心理學(xué)工作者研究介于和之間的感覺(jué)刺激是多少。他隨機(jī)抽取6名被試，讓他們調(diào)節(jié)一個(gè)可變的物理刺激，使所產(chǎn)生的感覺(jué)剛好處于和之間，并測(cè)量了所調(diào)節(jié)刺激量。6名被試的實(shí)驗(yàn)結(jié)果為，求介于和兩種感覺(jué)之間的平均刺激量。3．計(jì)算平均增長(zhǎng)率、進(jìn)步率、提高率等在一組數(shù)據(jù)中，若后一個(gè)數(shù)據(jù)以前一個(gè)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)或呈現(xiàn)比率增長(zhǎng)時(shí)，需用幾何平均數(shù)來(lái)求其平均增長(zhǎng)率。在教育與心理的研究中，研究諸如如學(xué)齡兒童、學(xué)校人數(shù)的增長(zhǎng)率，學(xué)校經(jīng)費(fèi)的增加率，學(xué)習(xí)或閱讀水平或能力的進(jìn)步率、提高率等等均需用到幾何平均數(shù)。求平均增長(zhǎng)率、進(jìn)步率等，首先需了解并掌握有關(guān)發(fā)展速度和增長(zhǎng)速度等有關(guān)概念及其計(jì)算方法。發(fā)展速度是以報(bào)告期的發(fā)展水平（）除以基期的發(fā)展水平（）乘以百分之百，即增長(zhǎng)速度則用發(fā)展速度減去1。發(fā)展速度是比較不同時(shí)期的同一現(xiàn)象，用以表明同類(lèi)現(xiàn)象在不同時(shí)期的變動(dòng)或發(fā)展程度，又稱(chēng)動(dòng)態(tài)相對(duì)指標(biāo)。具體來(lái)說(shuō)，它是用兩個(gè)不同時(shí)期發(fā)展水平的對(duì)比而獲得的，說(shuō)明報(bào)告期水平已發(fā)展到或增加到基期水平的若干倍（或百分之幾）。發(fā)展水平則是反映教育或心理現(xiàn)象在各個(gè)時(shí)期所達(dá)到的規(guī)?；蛩?，它是時(shí)間序列中的每一項(xiàng)具體指標(biāo)數(shù)值。例37：某師范大學(xué)教科院1995年本科生的招生人數(shù)為66人，2004年的招生人數(shù)為157人，求1995年到2004年
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