步步高-學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)20xx-20xx學(xué)年高中數(shù)學(xué)蘇教版選修--數(shù)學(xué)歸納法(一)(編輯修改稿)
2025-08-31 10:14 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與 n 的取值是否有關(guān) .由 n ＝ k 到 n ＝ k＋ 1 時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng) . 167。 （一） 本課時(shí)欄目開關(guān) 填一填 研一研 練一練 研一研 問題探究、課堂更高效 跟蹤訓(xùn)練 1 求證： 1 －12＋13－14＋ ? ＋12 n － 1－12 n＝1n ＋ 1＋1n ＋ 2＋ ? ＋12 n( n ∈ N*) . 167。 （一） 證明 當(dāng) n ＝ 1 時(shí) , 左邊＝ 1 － 12 ＝ 12 , 右邊＝ 12 , 所以等式成立 . 假設(shè) n ＝ k ( k ∈ N * ) 時(shí)， 1 －12 ＋13 －14 ＋ ? ＋12 k － 1－12 k ＝1k ＋ 1＋1k ＋ 2＋ ? ＋12 k 成立 . 那么當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)， 本課時(shí)欄目開關(guān) 填一填 研一研 練一練 研一研 問題探究、課堂更高效 1 －12＋13－14＋ ? ＋12 k － 1－12 k＋12 ? k ＋ 1 ? － 1－12 ? k ＋ 1 ?＝ 1k ＋ 1＋1k ＋ 2＋ ? ＋12 k＋12 k ＋ 1－12 ? k ＋ 1 ? ＝1k ＋ 2＋1k ＋ 3＋ ? ＋12 k＋12 k ＋ 1＋ [1k ＋ 1－12 ? k ＋ 1 ?] ＝1? k ＋ 1 ? ＋ 1＋1? k ＋ 1 ? ＋ 2＋ ? ＋1? k ＋ 1 ? ＋ k＋12 ? k ＋ 1 ?， 167。 （一） 所以 n ＝ k ＋ 1 時(shí)，等式也成立 . 綜上所述，對(duì)于任何 n ∈ N * ，等式都成立 . 本課時(shí)欄目開關(guān) 填一填 研一研 練一練 研一研 問題探究、課堂更高效 探究點(diǎn) 三 用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題 例 2 已知數(shù)列11 4，14 7，17 10， ? ，1? 3 n － 2 ?? 3 n ＋ 1 ?， ? ，計(jì)算 S 1 ， S 2 ， S 3 ， S 4 ，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想 S n 的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明 . 167。 （一） 解 S 1 ＝ 11 4 ＝ 14 ； S 2 ＝ 14 ＋ 14 7 ＝ 27 ； S 3 ＝ 27 ＋ 17 10 ＝ 310 ； S 4 ＝ 310 ＋ 110 13 ＝ 413 . 本課時(shí)欄目開關(guān) 填一填 研一研 練一練 研一研 問題探究、課堂更高效 可以看出，上面表示四個(gè)結(jié)果的分?jǐn)?shù)中，分子與項(xiàng)數(shù) n 一致，分母可用項(xiàng)數(shù) n 表示為 3 n ＋ 1. 于是可以猜想 S n ＝n3 n ＋ 1. 167。 （一） 下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想 . ( 1 ) 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)，左邊＝ S 1 ＝14 ， 右邊＝ n3 n ＋ 1 ＝ 13 1 ＋ 1 ＝ 14 ， 猜想成立 . ( 2) 假設(shè)當(dāng) n ＝ k ( k ∈ N * ) 時(shí)猜想成立，即 11 4＋14 7＋17 10＋ ? ＋1? 3 k － 2 ?? 3 k ＋ 1 ?＝k3 k ＋ 1， 本課時(shí)欄目開關(guān) 填一填 研一研 練一練 研一研 問題探究、課堂更高效 那么， 11 4＋14 7＋1
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