1資料的整理及統(tǒng)計量的計算(編輯修改稿)
2025-08-31 07:42 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 以某一數(shù)值為中心而分布的性質(zhì)。 集中性 離散性 平均數(shù) 變異數(shù) 算術(shù)平均數(shù) 中位數(shù) 眾數(shù) 幾何平均數(shù) 極差 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 變異系數(shù) 調(diào)和平均數(shù) 平方平均數(shù) —— 樣本集中趨勢（集中性）的度量 ? 平均數(shù) ：在數(shù)理統(tǒng)計中，用以反映一組變數(shù)的集中趨勢的指標(biāo)有 6種，統(tǒng)稱為平均數(shù)的范疇。 ? 平均數(shù)的意義 ：是最重要和最常用的統(tǒng)計值之一 ? 可作為一個資料的代表值 ? 表示次數(shù)分布的中心位置 ? 用來與另一資料進行比較 ? 算術(shù)平均數(shù) ? 總體或樣本中各個觀測值的總和除以觀測值個數(shù)所得的商，稱為算術(shù)平均數(shù)，簡稱 平均數(shù)或均數(shù) ? 總體平均數(shù) ? 若有限總體的 N個觀測值為 X1， X2， … ， Xn，則總體平均數(shù)為： ? μ＝（ X1＋ X2＋ … ＋ Xn ） /N＝（ ΣX）／ N ? 樣本平均數(shù) ? 若樣本的 n個觀測值為 x1， x2， … ， xn，則樣本平均數(shù)為： ? ＝（ x1+x2+…+x n ） /n＝（ Σx）／ n ? 在統(tǒng)計學(xué)上，以 希臘 字母表示 總體 的參數(shù)，以拉丁 字母表示 樣本 統(tǒng)計量。 x? 中（位）數(shù)（ Median，簡稱 Md或 Med） ? 將資料中所有觀測值從小到大依次排列，居中間位置的數(shù)，稱為 中位數(shù) （對奇數(shù)個變數(shù)）。 Md = ? 若變數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)，則以中間兩個觀測值的算術(shù)平均數(shù)為中數(shù)。 2)12/(2/ ??? nndxxM2/)1( ?nx? 眾數(shù)（ Mode，簡稱 Mo） ? 在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的一個變數(shù)，稱為眾數(shù)。 ? 例如：鞋的尺碼 ? 或在次數(shù)分布表中，次數(shù)最多一組的中點值，即為眾數(shù)。 ? 眾數(shù)有時不止一個， ? 有時沒有眾數(shù) —— 對于某些數(shù)據(jù)而言，如均勻分布，并不存在眾數(shù) 。 ? 主要用來描述頻率分布 ? 幾何平均數(shù)（ Geometric mean，簡稱 G） ? n個非負觀測值 x1， x2， … ， xn的乘積的 n次方根，稱為 幾何平均數(shù) 。 ? 如果相鄰數(shù)值的增長成比例關(guān)系，則可以用幾何平均數(shù)表示它們的集中趨勢。 nniinn xxxxxG ??????1321 . . .? 【 例 】 某藥物注射于一組小鼠后，其生存天數(shù)依次為： 1， 2， 3， 3， 4， 4， 5， 5， 6，89，求平均生存天數(shù)。 ? 解： G＝ 天 ? （比較： Md ＝ 4天， ＝ ） 此外還有書上關(guān)于抗體效價的例子（ P14） ? 幾何平均數(shù)可以消除極端值使算術(shù)平均數(shù)估計集中趨勢有偏大或偏小的傾向，能更好地代表數(shù)據(jù)的集中趨勢。 x? 調(diào)和平均數(shù)（ Harmonic mean，簡稱 Mh或者 H） ? 設(shè)： x1， x2， … ， xn都為正數(shù)（或全為負數(shù)），則調(diào)和平均數(shù)的倒數(shù)等于這些變數(shù)倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。 nxnxxxMh in ????????????????? ???? ? 11...11121????????? ?ixnMh 1? 【 例 】 （ P15） 進行草魚的喂養(yǎng)實驗，在原體重的基礎(chǔ)上凈增加 15g時結(jié)束。各期增重速度不同，經(jīng)測定第一個 5g的平均每天增重速度為；第二個 5g的平均每天增重為 ，第三個 5g的平均每天增重為 ，問平均每天增重多少克？ gxnMhi0 3 4 1?????????? ?此平均數(shù)主要用于觀測值是階段性變異的資料 ? 平方平均數(shù)（簡稱 q） ? 設(shè)： x1， x2， … ， xn都為正數(shù)，則平方平均數(shù)等于各觀測值的平方和的平均和的平方根。 )(112???niixnq該平均數(shù)主要用在一些具有體積物體的邊長、半徑、直徑等資料上。 舉例： P15 －例 ? 上述 6種平均數(shù)中，算術(shù)平均數(shù)最常用，中位數(shù)、眾數(shù)和幾何平均數(shù)使用較少。 ? 直接法：當(dāng)樣本較小時可根據(jù)平均數(shù)的定義直接進行。 ? 加權(quán)平均數(shù)（ Weighted mean） ? 用次數(shù)分布表計算（加權(quán)法） ? 用假定平均數(shù)等級差法計算（線性變換） ? 減去常數(shù)法 ? 若變量的值都較大，且接近某一常數(shù) a時，可將它們的值都減去常數(shù) a，得到一組新的數(shù)據(jù)，然后再計算平均數(shù)。 直接計算法 主要用于樣本含量 n≤30以下、未經(jīng)分組資料平均數(shù)的計算。 例：隨機抽取 20株小麥測量它們的株高（ cm）分別為： 82 79 85 84 86 84 83 82 83 83 84 81 80 81 82 81 82 82 82 80 求小麥的平均株高。 x ＝ Σx n ＝ 20 (82+79+…+80) ＝ (cm) 加權(quán)平均法 對于樣本含量 n30 以上且已分組的資料，可以在次數(shù)分布表的基礎(chǔ)上采用加權(quán)法計算平均數(shù)，計算公式為： 第 i組的次數(shù) fi是權(quán)衡第 i個自然值 xi在資料中所占比重大小的數(shù)量，因此將 fi 稱為是 xi的 “ 權(quán)數(shù) ” ，加權(quán)法也由此而得名。 若為 計數(shù)資料 ，不分組，且 Σf＝ n，此時直接用自然值乘以次數(shù)來計算，即 x ＝ Σfx/n。 ???????????????ffxfxffffxfxfxfxkiikiiikkk11212211??式中： — 第 i組的組中值； — 第 i組的次數(shù)； — 分組數(shù) ixifk 若為 分組資料 ，則用每組組中值乘以該組次數(shù)之和再除以總次數(shù)來計算： 例： 將 100尾一齡草魚的體重（單位： g）資料整理成次數(shù)分布表如下，求其加權(quán)數(shù)平均數(shù)。 表 100尾一齡草魚體重次數(shù)分布表 組別 組中值 (x) 次數(shù) (f) fx 10~ 15 3 45 20~ 25 6 150 30~ 35 26 910 40~ 45 30 1350 50~ 55 24 1320 60~ 65 8 520 70~ 75 3 225 合計 100 4520 即這 100尾一齡草魚的平均體重為 )(1 0 04 5 2 0 gffxx ??? ?? 例： 某牛群有黑白花奶牛 1500頭，其平均體重為 750 kg ，而另一牛群有黑白花奶牛 1200頭，平均體重為 725 kg，如果將這兩個牛群混合在一起，其混合后平均體重為多少？ 此例兩個牛群所包含的牛的頭數(shù)不等，要計算兩個牛群混合后的平均體重，應(yīng)以兩個牛群牛的頭數(shù)為權(quán)，求兩個牛群平均體重的加權(quán)平均數(shù)，即： )(2 7 0 01 2 0 07251 5 0 0750 kgffxx ?????? ??
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