統(tǒng)計資料的整理與描述(編輯修改稿)
2025-07-26 16:42 本頁面
【文章內容簡介】 須用一些統(tǒng)計量測數，藉以了解母體的特性。常用的統(tǒng)計量測數為代表集中趨勢統(tǒng)計量、代表離散統(tǒng)計量與形狀統(tǒng)計量，來表達母體的分配情形。這些樣本統(tǒng)計量亦稱之樣本的特徵值。 集中趨勢統(tǒng)計量是用來衡量所有觀測值聚集的中心位置算術平均數、中位數、四分位數、眾數、截尾平均數(a) 算術平均數(Arithmetic Mean)在一般未分組的原始資料中，有n個觀測值，其集合為{x1, x2, …, xn |n206。N}，則其算術平均數=(x1 + x2 + …+ xn)/n = (229。ni =1 xi )/n對於分組資料，假定資料共有n個觀測值分為m組，令xi為第i組觀測值之組中點，fi為該組觀測值相對應的次數，229。fi = n。則其算術平均數為=(x1f1+x2f2+…+xmfm)/n = (229。mi =1xi fi)/n(b) 中位數(Median)中位數又稱為二分位數，是一種由小至大順序數列的中心項。將某筆資料n個觀測值由小而大順序排列，則其中間位數的觀測值即為中位數。若n為奇數，則第(n+1)/2位數的觀測值為中位數。若n為偶數，中位數即為第n/2位數與第(n/2)+1位數觀測值的算術平均數。(c) 四分位數(Quartile)將觀測值由小至大順序數列按位數分為四等分，Q1 , Q2 , Q3為其位數等分點之觀測值。第0個四分位即是最小值，第1個四分位(Q1)是第25%的值，第2個四分位(Q2)是第50%的值(即中位數)，第3個四分位(Q3)是第75%的值，第4個四分位(Q1)即是最大值。此概念可以推廣至十分位數(D1, D2,…D9)和百分位數(Percentiles, P1, P2,…P99)。(d) 眾數(Mode)眾數是指統(tǒng)計資料中出現(xiàn)之次數最頻繁的觀測值。(e) 截尾平均數(Trimmed Mean)奧運體操評分標準係考慮算術平均數容易受兩端特別遠離中心位置觀測值的影響，有時不能確切描述觀測值集中趨勢。即截頭去尾的方法，將Q1以下與Q3之上的觀測值排除，再計算Q1與Q3之間的觀測值的算術平均數。此數為奧林匹克運動會的體操競賽評分標準。 離散趨勢統(tǒng)計量是用來測量所有觀測值偏離中心的程度全距、四分位間距、平均絕對偏差、變異數與標準差、變異係數等(a) 全距(Range)Range = Max. –Min.(b) 四分位間距(IQR, InterQuartile Range)四分位間距= Q3Q1全距很容易受到少數極端觀測值的影響，如原來某班上同學體重最重為85 kg，最輕為45 kg，則該班同學體重全距為40 kg，今來了一位轉系生體重為95 kg，則該班同學體重全距變?yōu)?0 kg。但四分位間距較不容易受少數極端值影響而產生極據變動。(c) 平均絕對偏差(MAD, Mean Absolute Deviation)MAD =229。ni =1| xi|/n(d) 變異數與標準差(Variance and Standard Deviation) 若有N個母體觀測值{x1, x2, …, xN}，且母體平均值為m，則母體變異數為s2=[229。Ni =1 (xim)2]/N， ([229。Ni =1 (xim)2]：Sum Square)對於n個樣本資料{ x1, x2, …, xn}，則樣本變異數為S2=[229。ni =1 (xi)2]/(n1)， ([229。ni =1 (xi)2]：Sum Square) 樣本變異數S2使用(n1)當分母的原因是，分子中(xi)的自由度(DOF, Degree of Freedom)為(n1)的關係。即n個項目(x1),…,(xn)中，只要知道其中的(n1)項，則剩下的最後一項就固定了，因為S(xi)= 0。 變異數是取觀測值與母體平均數差之平方和，所以變異數的單位與原觀測值所用的單位不同。為取一致可將變異數的開平方根，則s 稱之母體標準差，作為對應之離散量。另樣本標準差則相對為S。對於分組資料，假設資料分為m組共有n個觀測值，令xi為第i組觀測值之組中點，fi為該組觀測值相對應的次數， 229。fi = n。則樣本變異數為S2=[229。mi =1 (xi)2 fi]/(n1)(e) 變異數係數(CV, Coefficient of Variance )CV =(標準差/平均值) 形狀統(tǒng)計量係用量測一組資料對稱與否，與分佈形狀峰度之高低分別為偏態(tài)係數與峰態(tài)係數。(a) 偏態(tài)係數(Ske
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