微積分課件5-1定積分的概念(編輯修改稿)
2025-06-06 10:10 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ? ?ba, i? ? ?ii xx ,1???? ? ? ?? ?????Ixf inii1成立，稱 是函數(shù) 在 上的定積分， 記作 . 任意選取，當(dāng) 時(shí)，總有 I ? ?xf ? ?ba,? ?dxxfba? 0??(1)定義中 是要求取極限時(shí)保證各小區(qū) 間均縮成一點(diǎn)； 雖然當(dāng) 時(shí)， ， 但當(dāng) 時(shí)不能保證 ，故不能用 代替 . 0?? ??n??n 0????n 0??i?? ?ba,? ?xf ? ?ba,? ? ii xf ?? ?? 0lim(2)定義中區(qū)間 的分割和各小區(qū)間上 的 取法都是任意的 .若 在 上的定積分存 在，則 存在；若某特殊的和式的 極限存在，并不能保證函數(shù)的定積分存在 . ? ?dxxfba?(3)定積分 僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間 有關(guān)，與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)，即 ? ? ? ? ? ?duufdttfdxxf bababa ??? ??. (4)當(dāng)函數(shù) 在區(qū)間 上的定積 分存在時(shí)，稱 在區(qū)間 上可積 . ? ?dxxfba? ? ?ba,? ?xf ? ?ba, a b x y o ??A)( xfy ?圖 5－ 1 ? ?ba,? ?xf? ? 0?xf ? ? Adxxfba ??, ? ?15－圖? ? 0?xf , ? ? Adxxfba ??? ? ?35－圖在 上連續(xù)， o y a b x 圖 5－ 3 ? ?xfy ?A 既有正值又有負(fù)值時(shí) ， ? ?xf? ? 321 AAAdxxfba ???? ? ?45－圖圖 5－ 4 yx? ?xfy ?1A2A3Aa o b c d1. 定理 1 在 上連續(xù)，則 在 上可積 . ? ?xf ? ?ba,? ?ba,? ?xf 兩定理中的條件均為定積分存在的充分條件 . ? ?xf? ?xf? ?ba,? ?ba,2. 定理 2 在 上有界，且有有限個(gè) 間斷點(diǎn)，則 在 上可積 . 三、定積分存在的條件 例 1 利用定積分定義計(jì)算 dxex?10? ? xexf ? xe? ?1,0? ?1,0? ?1,0 n? ?1,...2,1, ??? ninix i nxi 1??ii x??取 ， ， ix???? ? nexexf niniiniiniii 1111????? ????????解 ： 由于 在 上連續(xù)，所以 在 上可積 . 將 分成 等分，分點(diǎn)為 ， ； 11lim111??????????????eeneennnnnneninin1lim1?? ????? ???????niiix xfdxe1010 lim ??
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