條件概率與事件的獨(dú)立性(編輯修改稿)
2024-08-28 17:43 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 或地震發(fā)生的數(shù)學(xué)模型． 山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 主講人：程述漢 蘇本堂 事件的獨(dú)立性 一、事件的獨(dú)立性 一般地 P(A|B)≠P(A), 即 B的發(fā)生，會(huì)對(duì) A的發(fā)生產(chǎn)生影響，但在某些情況下有 Ｐ (A|B)＝ P(A)，如： 設(shè)盒中 3個(gè)白球， 2個(gè)紅球，從中取球兩次，每次一個(gè)，就 a)不放回取樣 。 b)放回取樣 。 求下列事件的概率： (1) 第二次取得紅球的概率； (2) 在第一次取得白球的條件下，第二次取得紅球的概率 解 設(shè) A＝ {第一次取得白球 }， B＝ {第二次取得紅球 }, a)不放回取樣 b)放回取樣 (1) P(B)=2/5, (2) P(B|A)= 2/5 , P(B)＝ P(B|A) . (1) P(B)= =2/5, (2) P(B|A)=2/4, P(B)≠P(B|A)。 注意： P(B)有別于 P(取到一個(gè)紅球 ) 1 1 1 14 2 5 4C C / ( C C )山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 主講人：程述漢 蘇本堂 一、兩個(gè)事件的獨(dú)立性 1. 定義 設(shè) A、 B二事件，如果滿足等式 P(AB) = P(A)P(B), 則稱 A、 B為相互獨(dú)立的事件。 由定義得：必然事件 ?及不可能事件與 Φ任何事件都相互獨(dú)立。 2. 性質(zhì) 1) 若 P(A)0, P(B)0, 則 A和 B獨(dú)立 P(B|A)=P(B)。 P(A|B)=P(A)。 2 ) 如果 A 、 B 相互獨(dú)立 , 則 A 與 B , A 與 B , A 與 B 也相互獨(dú)立。 證明 因?yàn)?A B = B － AB ，且 B ? AB ，所以有 )()()()( ABPBPABBPBAP ???? )()()( BPAPBP ??( ) [ 1 ( ) ] ( ) ( ) .P B P A P A P B? ? ?所以 A 和 B相互獨(dú)立． 山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 主講人：程述漢 蘇本堂 例 6 分別擲兩枚均勻的硬幣，令 A={硬幣甲出現(xiàn)正面H}， B={硬幣乙出現(xiàn)反面 T}，試驗(yàn)證 A、 B相互獨(dú)立． 解 樣本空間 ?={HH, HT, TH, TT}共含有 4個(gè)基本事件，它們發(fā)生的概率均為 1/4．而 A={HH, HT}， B={HT, TT}， AB={HT}，故有 P(A)=P(B)=1/2， P(AB)=1/4， P(AB)=P(A) P(B) ， 所以 A、 B相互獨(dú)立． 山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 主講人：程述漢 蘇本堂 從直觀上看，例 6中的事件 A與 B顯然是相互獨(dú)立的，因?yàn)橛矌偶壮霈F(xiàn)正面與否對(duì)硬幣乙是否出現(xiàn)反面毫無影響．在實(shí)際應(yīng)用中，人們常常根據(jù)事件的實(shí)際意義去判斷事件的獨(dú)立性．一般地，若由實(shí)際情況分析， A、 B兩事件之間沒有關(guān)聯(lián)或關(guān)聯(lián)很微弱，就認(rèn)為它們是相互獨(dú)立的．例如 A、 B分別表示甲、乙兩人患感冒 , 如果甲在上海，乙在重慶，就認(rèn)為 A、 B相互獨(dú)立，若甲、乙兩人同住一個(gè)房間，那就不能認(rèn)為 A、 B相互獨(dú)立了． 下面的定理 2是顯然的。
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