【文章內(nèi)容簡介】 。 用反證法證明。 證明：設(shè)有兩上電勢 和 ，它們都滿足場方程 ?? xj c?jjjjSN d Sn??? ? ????已 知已知???kSn??????????? ????????? 22 , 并滿足上述邊界條件，則 ，或者 ， 和 不必相等，可以相差一個(gè)常數(shù)，即 要證明場中每一點(diǎn) 成立，只需證明 這里因?yàn)? ，并 。要使其等于 0，則必須 。而 由矢量恒等式 ?? ??????EE ???? ??????c on s t????? ???? ??????? ? 2( ) 0V dV??? ??? ? ? ? ???? ??????? ? 0)( 2 ?????? ?? 0??d? ? ? ? ? ?2( ) ( ) ( )VV dV d V? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ???fff ??? ???????? ??? )(則有 其中因?yàn)? 所以 即 也就是 現(xiàn)在考察上式右邊的面積分之值。 ? ? ? ? ? ?2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )VVVd V dVdV? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ??? ? ? ?????????? ????????? 22 , 0)(2 ?????? ??? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( )VV d V d V? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? 2( ) ( ) ( )iiVi Sd V d S? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ?? a) 設(shè) Si面滿足 (i)類邊界條件，則 故 Si面積分為零。 b)設(shè) Sj面滿足 (ii)類邊界條件，由于 ， 故可以將 從積分號(hào)內(nèi)提出來，則有 由于 (ii)類邊界條件中還包括有給定總通量值，即 0)( ?????iS??1xS cj ???未知數(shù)故 ????????? 212 )( , xxSxS cccjj???)( ?? ????( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )jjjjjjj SSSn n jSSd S d SE E d S? ? ? ? ? ? ? ???? ?? ? ?? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ??? ? ? ? ??? ???? 從而使得 c) 設(shè) Sk面滿足 (iii)類邊界條件，則 由于在 Sk面上 En值給定，故 則 jjn j n jSSE d S E d S? ????? ??( ) ( ) 0jjSdS? ? ? ?? ?? ? ??? ? ? ? ???( ) ( ) ( ) ( )kkkkSSd S E E d S? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??0)( ?????kSnnEE 由此可見，滿足場方程組和邊界條件的 和 必須滿足等式 即 ，唯一性定理證畢。 用唯一性定理解決實(shí)際問題 [例 1]有一半徑為 a的導(dǎo)體球，它的中心恰位于兩種均勻無限大介質(zhì)的分界面上，介質(zhì)的介質(zhì)常數(shù)分別是 與 。若導(dǎo)體球總電荷為 Q，求導(dǎo)體球表面處自由電 ( ) ( ) 0kkSdS? ? ? ?? ?? ? ??? ? ? ? ???????? ? 2( ) 0VdV??? ??? ? ??EE ???? ??2?1?荷分布。 Solution: 設(shè)導(dǎo)體球上下兩半球各自帶電量為 q1和 q2 ， 則 Q=q1+q2 又因?yàn)閷?dǎo)體球是等勢體，上下半球電勢相等，即 Q a 2?1?21 ?? ?另外，總電荷 Q一定，無限遠(yuǎn)處電勢為 0，故滿足唯一性定理?xiàng)l件。 根據(jù)唯一性定理，得到 則得 21222111 ??????????????????????????而ararrr222121221122 , ????????aqaq ?? 即故 即得到： 電荷面密度為： 21212112211)(1??????qQqQqqq?????QqQq21222111 , ??????????)(22 , )(22 21222222121211 ???????????? ?????? aQaqaQaq[例 2]兩同心導(dǎo)體球殼之間充以兩種介質(zhì)，左半球介電常數(shù)為 ，右半球介電常數(shù)為 。設(shè)內(nèi)球殼半徑為 a，帶電荷為 Q，外球殼接地，半徑為 b，求電場和球殼上的電荷分布。 1? 2?b a S1 S2 2?1?r??n??Solution : 以唯一性定理為依據(jù)來解本題。 a)寫出本題中電勢 應(yīng)滿足的方程和邊值關(guān)系以及邊界條件 此區(qū)域 V為導(dǎo)體球與球殼之間的空間，邊界面有兩個(gè)，即 S1和 S2， S1是導(dǎo)體球表面， S2是導(dǎo)體球殼內(nèi)表面 , 邊界條件為：在 S1上總電量是 Q， 在 S2上 。 在兩種介質(zhì)中，電勢都滿足 Laplace方程，在介質(zhì)交界面上，電勢 連續(xù)，電位移矢量的法向分量連續(xù)（因?yàn)榻唤缑嫔? ）。 0????0?f? 應(yīng)滿足的定解條件為： 現(xiàn)在不論用什么方法，只要求出的點(diǎn)函數(shù) 能滿足上述條件，那么 就是本題的唯一解。 b) 根據(jù)已知的定解條件，找出電勢 的解 由于對稱性 , 選取球坐標(biāo) , 原點(diǎn)在球心 , 直接積分 ???????????????????????????0 , , )2,1( 0212211212????????已知面上在已知面上在在交界面上SQSnnii)(x??)(x???可求得解，因?yàn)? 不難看出： 在 r=b處： 0)(1 222 ??????? rrrr ii ??)( )( 2211中電勢右半球中電勢左半球????DrCBrA????bABBbAbr??????? 0 1?從而得到 同理，在 r=b處： 即得 在兩介質(zhì)的交界面上： )11(1 brA ???bCDDbCbr??????? 0 2?)11(2 brC ???21 ?? ?由此得到 A= C 又因?yàn)樵趦山橘|(zhì)的交界面上， 與 ，但 都只與 r有關(guān)，所以 這樣， 也滿足了 Dn連續(xù)的條件。 到此為止，在條件中，除了在 S1面上總電量為 Q外， 也滿足了其它全部條件，而 也只剩下一個(gè)待定常數(shù) A。 現(xiàn)在用 必須滿足在 S1面上總電量等于Q這個(gè)條件來確定 A，即 ?r??n??021 ?????? nn ??21, ??? ??21, ??11 11111 1 1 1 1 12222 2 2 2 2 221212 SrrrrS S SrD dS QAD E e errAD E e errD dS D dS D dSAAe dSa??? ? ? ???? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ????? ?? ??左 右1122221222 2 2 rSSe dSaAAaaaaQ?????? ? ? ???? ??左 右故 從而得到： c) 電場和電荷分布情況 根據(jù)電勢 所得到的結(jié)果，有 )(2 21 ??? ?? QA?????????????)11()(2)11()(2212211brQbrQ????????i? 相應(yīng)地，有 ?????????????????????????321222321111)(2)(2rrQerErrQerErr?????????????????????????????32122223211111)(2)(2rrQEDrrQED????????????????由此可見 ▲ 在導(dǎo)體球（ r=a）表面上： 可見 ▲ 在導(dǎo)體球殼內(nèi)（ r=b）處： |||| 21 DD ?? ??????????????????????)(2?)(2?21222222121111??????????aQDDnaQDDnarrarfarrarf????ff 21 ?? ? 也可看出： ▲ 還可進(jìn)一步求出束縛電荷（極化電荷）分布： 已知 所以 ?????????????????????????)(2?)(2?21222222121111??????????bQDDnbQDDnbrrbrfbrrbrf????殼殼ff 殼殼 21 ?? ?EDP ??? 0????????????????????321022022321011011)(2)()(2)(