048直線、圓的位置關(guān)系(復(fù)習(xí)設(shè)計(jì))(師)(編輯修改稿)
2025-08-22 00:12 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的長(zhǎng)為2，則a＝________.分析： 兩圓方程相減得公共弦所在的直線方程，再利用半徑、弦長(zhǎng)的一半及弦心距構(gòu)成的直角三角形解得．解析 兩圓的方程相減，得公共弦所在的直線方程為(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4?y＝，又a＞0，結(jié)合圖象，再利用半徑、弦長(zhǎng)的一半及弦心距所構(gòu)成的直角三角形，可知＝＝1?a＝1.答案 1小結(jié)： 當(dāng)兩圓相交時(shí)求其公共弦所在的直線方程或是公共弦長(zhǎng)，只要把兩圓方程相減消掉二次項(xiàng)所得方程就是公共弦所在的直線方程，再根據(jù)其中一個(gè)圓和這條直線就可以求出公共弦長(zhǎng)．學(xué)生練習(xí)2：兩個(gè)圓：C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切線有且僅有( )．A．1條 B．2條 C．3條 D．4條解析 由題知C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，則圓心C1(－1，－1)，C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，圓心C2(2,1)，兩圓半徑均為2，又|C1C2|＝＝＜4，則兩圓相交?只有兩條外公切線，故選B.例3：已知點(diǎn)P(0,5)及圓C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直線l過(guò)點(diǎn)P且被圓C截得的線段長(zhǎng)為4，求l的方程；(2)求過(guò)P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)的軌跡方程．解 (1)如圖所示，|AB|＝4，設(shè)D是線段AB的中點(diǎn)，則CD⊥AB，∴|AD|＝2，|AC|＝(－2,6)．在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.設(shè)所求直線l的斜率為k，則直線l的方程為：y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由點(diǎn)C到直線AB的距離公式：＝2，得k＝.又直線l的斜率不存在時(shí)，也滿足題意，此時(shí)方程為x＝0.當(dāng)k＝時(shí)，直線l的方程為3x－4y＋20＝0.∴所求直線l的方程為x＝0或3x－4y＋20＝0.(2)設(shè)過(guò)P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)為D(x，y)，則CD⊥PD，即＝0，∴(x＋2，y－6)(x，y－5)＝0，化簡(jiǎn)得所求軌跡方程為x2＋y2＋2x－11y＋30＝0. 學(xué)生練習(xí)3：若圓(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x－3y－2＝0的距離為1，則半徑r的取值范圍是( A )A．(4,6) B．[4,6) C．(4,6] D．[4,6]鞏固作業(yè)：1
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