【文章內(nèi)容簡介】 P(2, 1) 217。 P(2, 2) 217。 P(2, 3)217。 P(3, 1) 217。 P(3, 2) 217。 P(3, 3)（4） P(1, 1)218。 P(1, 2)218。 P(1, 3) 218。 P(2, 1)218。 P(2, 2)218。 P(2, 3)218。P(3, 1)218。P(3, 2) 218。 P(3, 3)（5） [P(1, 1) 217。 P(1, 2) 217。 P(1, 3) ]218。 [P(2, 1) 217。P(2, 2) 217。 P(2, 3)]218。[P(3, 1) 217。P(3, 2) 217。 P(3, 3)]（6） [P(1,1)218。 P(2,1)218。 P(3, 1) ]217。 [P(1,2)218。P(2, 2) 218。 P(3,2)]217。 [P(1,3) 218。 P(2,3)218。P(3, 3)]8. 給定解釋I如下：(屈 68 9)(1) 個(gè)體域?yàn)閷?shí)數(shù)集R；(2) 元素a=0(3) R中特定的函數(shù)f(x,y)=x?y；(4) R中特定的謂詞F(x,y)：x=y，G(x,y)：xy。在解釋I下，求下列各式的真值。(1) x G(f(a, x),a)(2) x y (G(f(x, y),a)174。F(x,y))(3) x y (F(x,y) 174。216。G(x,y))(4) x y (F(f(x, y),a)174。G(x,y))解答：（1）x ((0x)0)，真值為0 （2）x y ((xy0)174。(x=y)) 真值為0（3）x y ((x=y) 174。216。(xy)) 真值為1 （4）x y ((xy=0)174。(xy) ) 真值為09. 給定解釋I如下：(屈 68 )(1) 個(gè)體域?yàn)镈={2,3,6}；(2) D上特定謂詞：F(x)：x163。3，G(x)：x5，R(x)：x163。7.在解釋I下，求下列各式的真值。(1) x (F(x)?G(x))(2) x (R(x)174。F(x))?G(5)(3) x (F(x)218。G(x))解答：(1) x ((x163。3)?( x5)) ,真值為0(2) x ((x163。7)174。( x163。3))?0 ,真值為0(3) x ((x163。3)218。( x5)) ,真值為110. 判斷下列各式的類型。(1) xyF(x,y)174。(G(x,y)174。xyF(x,y))該公式為永真式。(2) x(F(x)174。F(x))174。$y(G(y)?216。G(y))219。1174。0219。0該公式為永假式。(3) $yxF(x,y)174。x$yF(x,y)證明：設(shè)I為任意的解釋，則a) 若在I下，前件$yxF(x,y)為假，$yxF(x,y)174。x$yF(x,y)在I下為真。b) 若在I下，前件$yxF(x,y)為真，則存在為真, 必對于任意為真，為真，從而為真。 由I的任意性，$yxF(x,y)174。x$yF(x,y)是永真式。(4) x $yF(x,y)174。$xyF(x,y) 證明：a) 設(shè)為：整數(shù)集Z。 F(x,y):.則在下，前件x $yF(x,y)為真，而后件$xyF(x,y)為假，x $yF(x,y)174。$xyF(x,y)在下為假。b) 設(shè)為：整數(shù)集Z。 F(x,y):.在下，前件x $yF(x,y)為假，后件$xyF(x,y)為假，x $yF(x,y)174。$xyF(x,y) 在下為真。綜上所述，x $yF(x,y)174。$xyF(x,y)既不是永真式，也不是永假式，是可滿足式。(5) xy(F(x,y)174。F(y,x))證明：（a）設(shè)為：整數(shù)集Z。 F(x,y):.則在下，xy(F(x,y)174。F(y,x))為假。（b）設(shè)為：整數(shù)集Z。 F(x,y):.則若在下，xy(F(x,y)174。F(y,x))為真。綜上所述，公式D既不是永真式，也不是永假式，它是可滿足式。(6) 216。(xF(x)174。 $yG(y))217。$yG(y)證明: 216。(xF(x)174。 $yG(y))217。$yG(y)該公式為矛盾式。(7) ($x F(x)174。$xG(x))174。$x(F(x)174。G(x))證明：（a）設(shè)為：整數(shù)集Z。 F(x):是偶數(shù)，是奇數(shù).則若在下，前件$x F(x)174。$xG(x)為真，后件為假，從而($x F(x)174。$xG(x))174。$x(F(x)174。G(x)) 為假。（2）設(shè)為：整數(shù)集z。 F(x):.則若在下，前件為真，后件也真，因此($x F(x)174。$xG(x))174。$x(F(x)174。G(x))為真。綜上所述，公式($x F(x)174。$xG(x))174。$x(F(x)174。G(x))既不是永真式，也不是永假式，它是可滿足式。(8) (x F(x)174。xG(x))174。x(F(x)174。G(x))證明：（a）設(shè)為：整數(shù)集Z。 F(x):是偶數(shù)，是奇數(shù).則若在下，前件x F(x)174。xG(x)為真，后件x(F(x)174。G(x))為假，從而(x F(x)174。xG(x))174。x(F(x)174。G(x))為假。（b）設(shè)為：。 F(x):.則若在下，前件為真，后件也真，因此(x F(x)174。xG(x))174。x(F(x)174。G(x))為真。綜上所述，(x F(x)174。xG(x))174。x(F(x)174。G(x))既不是永真式，也不是永假式，它是可滿足式。 11. 證明216。$x y P(x, y) 和 x $y 216。P(x, y) 有相同的真值。證明:216。$x y P(x, y) x(216。y P(x, y)) x $y216。P(x, y)12. 證明 $x P(x) 217。$x Q(x) 和 $x(P(x) 217。Q(x)) 邏輯不等價(jià)。證明：設(shè)為：整數(shù)集Z。 F(x):是偶數(shù)，$x P(x) 217。$x Q(x)的真值為真，而$x(P(x) 217。Q(x))的真值為假，因此，兩者不等價(jià)。13. 證明 x P(x) 217。 $x Q(x) 和 x $y(P(x) 217。Q(y)) 是邏輯等價(jià)的。證明：x P(x) 217。 $x Q(x) x P(x) 217。 $y Q(y) x（P(x) 217。 $yQ(y)）x $y(P(x) 217。Q(y))14. 指出下列公式中每個(gè)量詞的作用域，并指出個(gè)體變量是約束變量還是自由變量。(1)xy(P(x，y)218。Q(y，z))217。$yR(x，y)(2)$x(x=y217。x2+x5174。 xz)174。 x=5y215. 求下列公式的前束范式。(1)216。$xP(x)174。 y Q(x，y)解：216。$xP(x)174。 y Q(x，y) $xP(x) 218。 y Q(x，y)$zP(z) 218。 y Q(x，y) $z y [P(z) 218。 Q(x，y)]所以，$z y [P(z) 218。 Q(x，y)]為所求的前束范式。(2)xP(x)174。 $x Q(x)解：xP(x)174。 $x Q(x) 216。xP(x) 218。$x Q(x) $x216。P(x) 218。$x Q(x)$x(216。P(x) 218。Q(x)）$x(216。P(x) 218。Q(x)）為所求的前束范式。(3)$xP(x)174。 x Q(x)解：$xP(x)174。 x Q(x) 216。$xP(x) 218。 x Q(x)x216。P(x) 218。 x Q(x) x216。P(x) 218。 y Q(y)x y (216。P(x) 218。 Q(y))所以，x y (216。P(x) 218。 Q(y))為所求的前束范式。(4)x(P(x，y)174。Q(z))218。$x(R(z)174。yS(x，y，z))解：x(P(x，y)174。Q(z))218。$x(R(z)174。yS(x，y，z))u(216。P(u，y)218。Q(z))218。$x(216。R(z) 218。tS(x，t，z)) u$x t (216。P(u，y)218。Q(z)218。 216。R(z) 218。S(x，t，z))所以，u$x t (216。P(u，y)218。Q(z)218。 216。R(z) 218。S(x，t，z))為所求的前束范式。(5)216。$xP(x)217。y(P(y)218。Q(y，z))174。$wR(y，z，w))解：216。$xP(