【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 兩個(gè)聯(lián)結(jié)詞的特點(diǎn)：當(dāng)一個(gè)命題公式中只含有聯(lián)結(jié)詞217。和→時(shí)，則當(dāng)公式中出現(xiàn)的所有命題原子都取真值1時(shí)，公式也必然取真值1。這就是說，僅含217。和→的公式不能表示所有的命題公式，比如恒假式：A217。216。A。因此，聯(lián)結(jié)詞集合{217。，→}不是全功能集。證明：下面證明{217。，→}不是聯(lián)結(jié)詞的全功能集。對(duì)公式中出現(xiàn)的聯(lián)結(jié)詞個(gè)數(shù)使用數(shù)學(xué)歸納法來證明下面的結(jié)論：當(dāng)一個(gè)命題公式中只含有聯(lián)結(jié)詞217。和→時(shí)，則當(dāng)公式中出現(xiàn)的所有命題原子都取真值1時(shí)，公式也必然取真值1。n=0時(shí)，即公式中不含任何聯(lián)結(jié)詞時(shí)，公式為原子，結(jié)論顯然。假設(shè)n≤k時(shí)，命題成立，即，如果一個(gè)公式中含有n個(gè)聯(lián)結(jié)詞217。，→，則當(dāng)公式的所有原子真值取1時(shí)，公式也取真值1。當(dāng)n=k+1時(shí)，設(shè)任一含k+1個(gè)聯(lián)結(jié)詞的公式為A，則存在公式B和C，使得：A=B→C或A=B217。C，且B和C中的聯(lián)結(jié)詞個(gè)數(shù)均≤k。由歸納假設(shè)知，當(dāng)所有原子取真值1時(shí)，B和C在該解釋下的真值均為1，因此，A在該解釋下的真值亦為1。歸納完成。由該結(jié)論知，如果一個(gè)命題公式中只含有聯(lián)結(jié)詞217。和→，那么至少存在一個(gè)解釋滿足該公式。因此，只含有聯(lián)結(jié)詞217。和→的公式肯定不能表示恒假公式。所以，{217。，→}不是聯(lián)結(jié)詞的全功能集。 綜合應(yīng)用題 綜合題主要是先符號(hào)化，再使用上面的知識(shí)進(jìn)行聯(lián)結(jié)詞的轉(zhuǎn)化、或求主合取范式、主析取范式、利用基本等價(jià)式化簡(jiǎn)、或進(jìn)行邏輯推理來論證或做邏輯判斷等。 一個(gè)排隊(duì)線路，輸入為A，B，C，其輸出分別為FA, FB, FC。在同一時(shí)間內(nèi)只能有一個(gè)信號(hào)通過。如果同時(shí)有兩個(gè)或兩個(gè)以上信號(hào)通過時(shí)，則按A，B，C的順序輸出。例如，A，B，C同時(shí)輸入時(shí)，只能A有輸出。寫出FA, FB, FC的邏輯表達(dá)式，并化成全功能集{175。}中的表達(dá)式。解：先將已知事實(shí)中的各簡(jiǎn)單命題符號(hào)化，設(shè)： P：A輸入； Q：B輸入； R：C輸入。然后根據(jù)已知條件，寫出FA, FB, 。PQRFAFBFC000000001001010010011010100100101100110100111100于是，F(xiàn)A= (P217。216。 Q217。216。R) 218。 (P217。216。 Q217。R) 218。 (P217。Q217。216。R) 218。(P217。Q217。R) =（（P217。216。 Q）217。（216。R218。 R））218。（（P217。Q217。（216。R218。 R）） =（P217。216。 Q）218。（P217。Q） = P217。（216。Q218。 Q） =P =216。216。(P218。P) =216。(P175。P) =216。((P175。P)218。 (P175。P)) =(P175。P) 175。 (P175。P).FB= (216。P217。 Q217。216。R) 218。 (216。P217。Q217。R) =(216。P217。 Q) 217。（216。R218。 R） =216。P217。 Q =216。216。(216。P217。 Q) =216。(P218。216。Q) =P175。216。Q = P175。(Q175。Q)FC=216。P217。216。Q217。R =216。( P218。Q218。216。R) = (P218。Q)175。 (216。R) =(216。216。( P218。Q)) 175。 (216。R) =(216。 (P175。 Q)) 175。(216。R) = ((P175。 Q) 175。(P175。 Q)) 175。(R 175。 R) 一一個(gè)公安人員審查一件盜竊案，已知的事實(shí)如下：（1） A或B盜竊了x（2） 若A盜竊了x，則作案時(shí)間不能發(fā)生在午夜前（3） 若B證詞正確，則在午夜時(shí)屋里燈光未滅（4） 若B證詞不正確，則作案時(shí)間發(fā)生在午夜前（5） 午夜時(shí)屋里燈光滅了（6） A并不富裕試用演繹法找出盜竊犯。解：先將已知事實(shí)中的各簡(jiǎn)單命題符號(hào)化，設(shè)：P：A盜竊了xQ：B盜竊了xR：作案時(shí)間發(fā)生在午夜前S：B證詞正確T：在午夜時(shí)屋里燈光未滅U：A并不富裕再將各前提寫出：G1：P∨Q G2：P →R G3：S→T G4：：S→R G5：T G6：U演繹過程為：（1） S→T　　?。ㄒ?guī)則１）（2） T （規(guī)則１） （3） S （規(guī)則2）（4） S→R （規(guī)則１）（5） R （規(guī)則2）（6） P →R （規(guī)則１）（7） P （規(guī)則2）（8） P∨Q （規(guī)則１）（9） Q （規(guī)則2）因此，是B盜竊了x。 一甲、乙、丙、丁四個(gè)人有且僅有兩個(gè)人參加圍棋優(yōu)勝比賽。關(guān)于誰參加比賽，下面四種判斷都是正確的：（1）甲和乙只有一人參加；（2）丙參加，丁必參加；（3）乙或丁至多參加一人；（4）丁不參加，甲也不會(huì)參加。請(qǐng)推斷出哪兩個(gè)人參加了圍棋比賽。解：先將已知事實(shí)中的各簡(jiǎn)單命題符號(hào)化，設(shè)：P：甲參加了比賽；Q：乙參加了比賽；R：丙參加了比賽；S：丁參加了比賽.依已知條件（1）（4）有：（1）(216。P217。 Q) 218。 (P217。216。Q)（2）R→S（3）216。（Q217。S）（4）216。S→216。P將（1）（4）式合取起來有：（(216。P217。 Q) 218。 (P217。216。Q)）217。（R→S）217。216。（Q217。S）217。（216。S→216。P）=（(216。P217。 Q) 218。 (P217。216。Q)）217。（216。R218。S）217。(216。Q218。216。S)217。(S218。216。P)=(P217。216。Q 217。 216。R217。 S) 218。(P217。216。Q 217。 S) 218。 (216。P217。Q 217。 216。R217。 216。S)根據(jù)已知，甲、乙、丙、丁四個(gè)人有且僅有兩個(gè)人參加比賽，知，216。P217。Q 217。 216。R217。 216。S為假，所以只有 (P217。216。Q 217。 216。R217。 S) 218。(P217。216。Q 217。 S)為真，即甲和丁參加了比賽。167。 第二章習(xí)題解答 1. 設(shè)P是命題“天下雪”；Q是命題“我上街”；R是命題“我有時(shí)間”。（1）用邏輯符號(hào)寫出以下命題：a． 如天不下雪并且我有時(shí)間，那么我上街。b． 我去上街，僅當(dāng)我有時(shí)間。c． 天不下雪。d． 天正在下雪，我也沒去上街。解： a可表示為：(216。P217。R) 174。Q；b可表示為：Q174。R；c可表示為：216。P；d可表示為：P217。216。Q。（2）對(duì)下述命題用中文寫出語句。 a．Q171。（R217。216。P） b．R217。Q c．（Q174。R）217。（R174。Q） d．216。（R218。Q）解： a為：我上街當(dāng)且僅當(dāng)我有時(shí)間并且天不下雪；b為：我有時(shí)間并且上街了；c為：我上街了當(dāng)且僅當(dāng)我有時(shí)間；d為：我每時(shí)間又沒上街。2. 說出下述每一命題的逆命題和逆否命題：（1） 如果天下雨，我將不去。（2） 僅當(dāng)你去我將逗留。（3） 如果n是大于2的正整數(shù)，則方程xn+yn=zn無正整數(shù)解。（4） 如果我不獲得更多幫助，我不能完成這個(gè)任務(wù)。解： （1）逆命題為：如果我不去，那么天下雨；逆否命題為：如果我去，那么天不下雨。（2）逆命題為 ：僅當(dāng)我將逗留你去；逆否命題為：你不去我將不逗留。（3）逆命題為：如果方程xn+yn=zn無正整數(shù)解，則n是大于2的正整數(shù)；逆否命題為：如果方程xn+yn=zn有正整數(shù)解，則n是不大于2的正整數(shù)。(4)逆命題為：我不能完成這個(gè)任務(wù)，因?yàn)槲覜]有獲得更多幫助。逆否命題：如果我完成了任務(wù)，則我獲得了更多幫助。3. 給P和Q指派真值1，給R和S指派真值0，求出下面命題的真值：a) (P217。(Q217。R))218。216。((P218。Q)217。(R218。S))b) (216。(P217。Q)218。216。R)218。(((216。P217。Q)218。216。R)217。S)c) (216。(P217。Q)218。216。R)218。((Q171。216。P)174。(R218。216。S))d) (P218。(Q174。(R217。216。P)))171。(Q218。216。S)解：a)令G= (P217。(Q217。R))218。216。((P218。Q)217。(R218。S)) 則：TI(G) = (1217。(1217。0))218。216。((1218。1)217。(0218。0)) = 0218。216。0=1b)令G=(216。(P217。Q)218。216。R)218。(((216。P217。Q)218。216。R)217。S)則：TI (G) = (216。(1217。1)218。216。0)218。(((216。1217。1)218。216。0)217。0) = 1218。0=1c) 令G =(216。(P217。Q)218。216。R)218。((Q171。216。P)174。(R218。216。S)) =(216。(P217。Q)218。216。R)218。( 216。 ( (216。Q218。216。P) 217。(P 218。Q)) 218。(R218。216。S)) =(216。P218。216。Q218。216。R)218。( (Q217。P) 218。 (216。P 218。216。Q) 218。(R218。216。S))則：TI (G) =(216。1218。216。1218。216。0)218。( (1217。1) 218。 (216。1 218。216。1) 218。(0218。216。0)) = 1218。1=1 d) 令G =(P218。(Q174。(R217。216。P)))171。(Q218。216。S) =(P218。(Q174。(R217。216。P)))171。(Q218。216。S) =(P218。(216。Q218。(R217。216。P)))171。(Q218。216。S)=(216。 (P218。(216。Q218。(R217。216。P))) 218。 (Q218。216。S)) 217。(216。 (Q218。216。S) 218。 (P218。(216。Q218。(R217。216。P))))=(216。 P 217。 (Q217。 (216。R218。P))) 218。 (Q218。216。S)) 217。((216。 Q217。S) 218。 (P218。(216。Q218。(R217。216。P))))TI (G) =(216。 1 217。 (1217。 (216。0218。1))) 218。 (1218。216。0)) 217。((216。1217。0) 218。 (1218。(216。1218。(0217。216。1)))) =1 217。1=1 1. 構(gòu)成下列公式的真值表：(1) Q217。（P174。Q）174。P(2) 216。（P218。Q217。R）171。（P218。Q）217。（P218。R）(3) (P218。Q174。 Q