【文章內容簡介】 。 表 p q r s? p→ q? r→ s? (p→ q)∧ (r→ s)? p∧ r? q∧ s? (p∧ r)→ (q∧ s)? 原公式 ?0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⑺ ((p? q)∧ (q? r))→ (p? r) ((p? q)∧ (q? r))→ (p? r)的真值表如 表 所示。由表 可以看出 ((p? q)∧ (q? r))→ (p? r)是重言式。 表 p q r p? q q? r (p? q)∧ (q? r) p? r ((p? q)∧ (q? r))→ (p? r) 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 第 1章 習題解答 18 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3. 用等價演算證明題 2 中的命題公式是重言式。 ⑴ (p∧ (p→ q))→ q (p∧ ( p∨ q))∨ q ( p∨ (p∧ q))∨ q (( p∨ p)∧ ( p∨ q))∨ q ( p∨ q)∨ q T ⑵ ( q∧ (p→ q))→ p ( q∧ ( p∨ q))→ p ( q∧ ( p∨ q))∨ p (q∨ (p∧ q))∨ p ( p∨ q)∨ (p∧ q) (p∧ q)∨ (p∧ q) T ⑶ ( p∧ (p∨ q))→ q ( p∧ q)→ q ( p∧ q)∨ q p∨ q∨ q T ⑷ ((p→ q)∧ (q→ r))→ (p→ r) (( p∨ q)∧ ( q∨ r))∨ ( p∨ r) (p∧ q)∨ (q∧ r)∨ ( p∨ r) (p∧ q)∨ (( p∨ q∨ r)∧ ( p∨ r∨ r)) (p∧ q)∨ ( p∨ q∨ r) ( p∨ q∨ r∨ p)∧ ( p∨ q∨ r∨ q) T ⑸ ((p∨ q)∧ (p→ r)∧ (q→ r))→ r ((p∨ q)∧ ( p∨ r)∧ ( q∨ r))→ r ((p∨ q)∧ ( (p∨ q)∨ r))→ r ((p∨ q)∧ r)→ r ((p∨ q)∧ r)∨ r (p∨ q)∨ r∨ r T ⑹ ((p→ q)∧ (r→ s))→ ((p∧ r)→ (q∧ s)) 第 1章 習題解答 19 (( p∨ q)∧ ( r∨ s))∨ ( (p∧ r)∨ (q∧ s)) ((p∧ q)∨ (r∧ s))∨ (( p∨ r)∨ (q∧ s)) ((p∧ q)∨ (r∧ s))∨ (( p∨ r∨ q)∧ ( p∨ r∨ s)) ((p∧ q)∨ (r∧ s)∨ ( p∨ r∨ q))∧ ((p∧ q)∨ (r∧ s)∨ ( p∨ r∨ s)) ((r∧ s)∨ (( p∨ r∨ q∨ p)∧ ( p∨ r∨ q∨ q)))∧ ((r∧ s)∨ (( p∨ r∨ s∨ p)∧ ( p∨ r∨ s∨ q))) ((r∧ s)∨ T)∧ ((r∧ s)∨ ( p∨ q∨ r∨ s)) (r∧ s)∨ ( p∨ q∨ r∨ s) ( p∨ q∨ r∨ s∨ r)∧ ( p∨ q∨ r∨ s∨ s) T ⑺ ((p? q)∧ (q? r))→ (p? r) (( p∨ q)∧ ( q∨ p)∧ ( q∨ r)∧ ( r∨ q))→ (p? r) (( p∨ q)∧ ( q∨ p)∧ ( q∨ r)∧ ( r∨ q))∨ (p∧ r)∨ ( p∧ r) (p∧ q)∨ (p∧ r)∨ (r∧ q)∨ (q∧ r)∨ (q∧ p)∨ ( p∧ r) ((p∧ ( q∨ r))∨ ( q∨ r))∨ (r∧ q)∨ (q∧ p)∨ ( p∧ r) (( ( q∨ r)∨ ( q∨ r))∧ (p∨ ( q∨ r)))∨ (r∧ q)∨ (q∧ p)∨ ( p∧ r) (T∧ (p∨ ( q∨ r)))∨ (r∧ q)∨ (q∧ p)∨ ( p∧ r) p∨ (q∧ r)∨ (r∧ q)∨ (q∧ p)∨ ( p∧ r) p∨ (q∧ r)∨ ((q∧ p)∨ ( p∧ r))∨ (r∧ q) p∨ (q∧ r)∨ (( p∧ (q∨ r))∨ (q∨ r)) p∨ (q∧ r)∨ p∨ ( q∧ r) T ： ⑴ ((p→ r)∧ (q→ r)) ( p∨ r)∧ ( q∨ r) ( p∧ q)∨ r (p∨ q)∨ r (p∨ q)→ r ⑵ (p→ q)∧ (p→ q) ( p∨ q)∧ ( p∨ q) p∨ (q∧ q) p∨ F p ⑶ p∧ (p→ q) p∧ ( p∨ q) (p∧ p)∨ (p∧ q) F∨ (p∧ q) p∧ q 第 1章 習題解答 20 習題 。 ⑴ (p∧ q)→ r (p∧ q)∨ r p∨ q∨ r ⑵ (p→ q)→ r ( p∨ q)∨ r ( p∨ q)∨ r p∨ q∨ r ⑶ p∧ (p→ q) p∧ ( p∨ q) (p∧ p)∨ (p∧ q) p∧ q ⑷ (p→ q)∧ (q∨ r) ( p∨ q)∧ (q∨ r) q∨ ( p∧ r) ⑸ (p∨ q)∧ (r→ t) ( p∧ q)∧ ( r∨ t) ( p∧ q∧ r)∨ ( p∧ q∧ t) 2. 求下列命題公式的合取范式。 ⑴ (p→ q) ( p∨ q) p∧ q ⑵ q∨ (p∧ q∧ r) ( q∨ p)∧ ( q∨ q)∧ ( q∨ r) ( q∨ p)∧ ( q∨ r) ⑶ ( p∧ q)∨ (p∧ q) (( p∧ q)∨ p)∧ (( p∧ q)∨ q)) ( p∨ p)∧ (q∨ p)∧ ( p∨ q)∧ (q∨ q) (p∨ q)∧ ( p∨ q) ⑷ (p? q) 第 1章 習題解答 21 ((p∧ q)∨ ( p∧ q)) ( p∨ q)∧ (p∨ q) ⑸ (p→ q)→ r ( p∨ q)∨ r ( p∨ q)∨ r p∨ q∨ r ，并求命題 公式的成真賦值。 ⑴ (p∧ q)∨ (p∧ r) 作 (p∧ q)∨ (p∧ r)的真值表，如 表 所示。 表 p q r p∧ q p∧ r (p∧ q)∨ (p∧ r) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 由真值表可知，原式 (p∧ q∧ r)∨ (p∧ q∧ r)∨ (p∧ q∧ r)(主析取范式 ) ↖ 5,6,7 使得命題公式 (p∧ q)∨ (p∧ r)成真的賦值是： 101， 110， 111。 ⑵ ?(p∨ q)→ ( p∧ r) ??(p∨ q)∨ ( p∧ r) (p∨ q)∨ ( p∧ r) (p∨ q∨ p)∧ (p∨ q∨ r) p∨ q∨ r ( p∧ q∧ r)∨ ( p∧ q∧ r)∨ ( p∧ q∧ r)∨ (p∧ q∧ r)∨ (p∧ q∧ r)∨ (p∧ q∧ r)∨ (p∧ q∧ r)(主析取范式 ) ↖ 1,2,3,4,5,6,7 使得命題公式 ?(p∨ q)→ ( p∧ r)成真的賦值是： 001， 0 011， 100， 101， 110， 111。 ⑶ (?p∨ ?q)→ (p? ?q) 作 (?p∨ ?q)→ (p? ?q)的真值表，如 表 所示。 表 p q p q p∨ q p? q (p∨ q)→ (p? q) 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 第 1章 習題解答 22 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 由真值表可知 : 原式 ( p∧ q)∨ (p∧ q)∨ (p∧ q) (主析取范式 ) ↖ 1,2,3 使得命題公式 (?p∨ ?q)→ (p? ?q)成真的賦值是： 01， 10， 11。 ⑷ ( p→ q)→ (p∨ q) ( p∨ q)∨ (p∨ q) (p∨ q)∨ (p∨ q) ( p∧ q)∨ (p∨ q) (p∨ q∨ p)∧ (p∨ q∨ q) p∨ q ( p∧ q)∨ (p∧ q)∨ (p∧ q)(主析取范式 ) ↖ 0,2,3 使得命題公式 ( p→ q)→ (p∨ q)成真的賦值是： 00,10,11。 ⑸ (p→ (q∧ r))∧ ( p→ ( q∧ r)) ( p∨ (q∧ r))∧ ( p∨ ( q∧ r)) ( p∨ q)∧ ( p∨ r)∧ (p∨ q)∧ (p∨ r) ( p∨ q∨ r)∧ ( p∨ q∨ r)∧ ( p∨ q∨ r)∧ ( p∨ q∨ r)∧ (p∨ q∨ r)∧ (p∨ q∨ r)∧ (p∨ q∨ r)∧ (p∨ q∨ r) ( p∨ q∨ r)∧ ( p∨ q∨ r)∧ ( p∨ q∨ r)∧ (p∨ q∨ r)∧ (p∨ q∨ r)∧ (p∨q∨ r) ( p∧ q∧ r)∨ (p∧ q∧ r)(主析取范式 ) 使得命題公式 (p→ (q∧ r))∧ ( p→ ( q∧ r))成真的賦值是： 000,111。 4. 求下列命題公式的主合取范式，并求命題公式的成假賦值。 ⑴ (p→ q)∧ r ( p∨ q)∧ r ( p∨ q∨ r)∧ ( p∨ q∨ r)∧ ( p∨ r)∧ (p∨ r) ( p∨ q∨ r)∧ ( p∨ q∨ r)∧ ( p∨ q∨ r)∧ ( p∨ q∨ r)∧ (p∨ q∨ r)∧ (p∨ q∨ r) ( p∨ q∨ r)∧ ( p∨ q∨ r)∧ ( p∨ q∨ r)∧ (p∨ q∨ r)∧ (p∨ q∨ r) ? 0,2,4,5,6 使得命題公式 (p→ q)∧ r 成假的賦值是： 000,010,100,101,110。 ⑵ (p→ q)? (p→ q) 作 (p→ q)? (p→ q)的真值表，如 表 所示。 表 p q p→ q (p→ q) q p→ q (p→ q)? (p→ q) 0 0 1 0 1 1 0 第 1章 習題解答 23 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 由真值表可知 : 原式 (p∨ q)∧ (p∨ q) ? 0,1 使得命題公式 (p→ q)? (p→ q)成假的賦值是： 00,01。 ⑶ ?(p∨ q)→ ( p∧ r) ??(p∨ q)∨ ( p∧ r) (p∨ q)∨ ( p∧ r) (p∨ q∨ p)∧ (p∨ q∨ r) p∨ q∨ r ? 0 使得命題公式 ?(p∨ q)→ ( p∧ r)成假的賦值是： 000。 ⑷ (p→ q)∧ p ( p∨ q)∧ p p∧ q∧ p F ? 0,1,2,3 使得命題公式 (p→ q)∧ p 成假的賦 值是： 00,01,10,11。 ⑸ (p→ (q∨ r))∨ r p∨ q∨ r∨ r p∨ q∨ r ? 4 使得命題公式 (p→ (q∨ r))∨ r 成假的賦值是： 100。 5. 求下列命題公式的主析取范式，再用主析取范式求出主合取范式。 ⑴ (p→ q)∧ (q→ r) ( p∨ q)∧ ( q∨ r) (( p∨ q)∧ q)∨ (( p∨ q)∧ r) ( p∧ q)∨ ( p∧ r)∨ (q∧ r) ( p∧ q∧ r)∨ ( p∧ q∧ r)∨ ( p∧ q∧ r)∨ ( p∧ q∧ r)∨ ( p∧ q∧ r)∨ (p∧ q∧ r) ( p∧ q∧ r)∨ ( p∧ q∧ r)∨ ( p∧ q∧ r)∨ (p∧ q∧ r)(主析取范式 ) ↖ 0,1,3,7 ? 2,4,5,6 (p∨ q∨ r)∧ ( p∨ q∨ r)∧ ( p∨ q∨ r)∧ ( p∨ q∨ r)(主合取范式 ) ⑵ ( p∨ q)∨ r (p∧ q)∨ r (p∧ q∧ r)∨ (p∧ q∧ r)∨ (p∧ r)∨ ( p∧ r) 第 1章 習題解答 24 (p∧ q∧ r)∨ (p∧ q∧ r)∨ (p∧ q∧ r)∨ (p∧ q∧ r)∨ ( p∧ q∧ r)∨ ( p∧ q∧ r) (p∧ q∧ r)∨ (p∧ q