【文章內(nèi)容簡介】 2。p∨ (172。q∨ r) ? 172。p∨ 172。q∨ r). 由于演算過程較長 ,可以分別先求出由 172。p,172。q,r 派生的極小項 .注意 ,本公式中含 3 個命題變項 ,所以 ,極小項長度為 3. 14 172。p ? 172。p∧ (172。q∨ q)∧ (172。r∨ r) ? (172。p∧ 172。q∧ r)∨ (172。p∧ 172。q∧ r) ∨ (172。p∧ q∧ 172。r)∨ (172。p∧ 172。q∧ r) ? m0∨ m1∨ m2∨ m3 172。p ? (172。p∨ p)∧ 172。q∧ (172。r∨ r) ? (172。p∧ 172。q∧ 172。r)∨ (172。p∧ 172。q∧ r) ∨ (172。p∧ 172。q ∧ 172。r)∨ (p∧ 172。q∧ r) ? m0∨ m1∨ m4∨ m5 r? (172。p∨ p)∧ (172。q∨ q)∧ r ? (172。p∧ 172。q∧ r)∨ (172。p∧ 172。q∧ r) ? (p∧ 172。q∧ r)∨ (p∧ q∧ r) ? m1∨ m31∨ m5∨ m7 p→ (q→ r)? m0∨ m1∨ m2∨ m3∨ m4∨ m5∨ m7 類似地 ,可求出 q→ (p→ r)主的析取范式也為上式 ,由于公式的主析取范式的唯一性 ,可知 , (p→ (q→ r))? (q→ (p→ r)). (2) ① p↑ q ? 172。(p∧ q) ? 172。p∨ 172。q ? (172。p∧ (172。q∨ q))∨ ((172。p∨ p)∧ 172。q) ? (172。p∧ 172。q)∨ (172。p∧ q))∨ ((172。p∨ 172。p)∨ (p∧ 172。q) ? (172。p∧ 172。q)∨ (172。p∧ q)∨ (p∨ 172。p) 15 ? m0∨ m1∨ m2. ② p↓ q ? 172。(p∧ q) ? 172。p∨ 172。q ? m0. 由于 p↑ q 與 p↓ q 的主析取范式不同 .因而它們不等值 ,即 p↑ q? p↓ q. 設 p:A 輸入 。 設 q:B 輸入 。 設 r:C 輸入 。 由題的條件 ,容易寫出 FA,FB,FC 的真值表 ,見表 所示 .由真值表分別寫出它們的主析范鄧范式 ,而后 ,將它們都化成與之等值的 {↓ }中的公式即可 . 表 p q r F F F A B C 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 FA? (p∧ 172。q∧ 172。r)∨ (p∧ 172。q∧ r))∨ (p∧ q∧ 172。r)∨ (p∧ q∧ r) ? (p∧ 172。q)∧ (172。r∨ r)∨ (p∧ q)∧ (172。r∨ r) ? (p∧ 172。q)∨ (p∧ q) ? p 16 ? 172。172。(p∧ q) ? 172。(p↓ q) ? 172。(p↓ q) ? (p↓ q)↓ (p↓ p) FB? (172。p∧ q∧ 172。r)∨ (172。p∧ q∧ r) ? (172。p∧ q)∧ (172。r∨ r) ? (172。p∧ q) ? 172。172。(172。p∧ q) ? 172。(p∧ 172。q) ? p↓ 172。q) ? p↓ (q↓ q). FC ? (172。p∧ 172。p∧ r) ? 172。(p∨ q)∧ r ? (p↓ q)∧ r ? 172。172。((p↓ q)∧ r ? 172。(172。(p↓ q)∨ 172。r ? 172。(p↓ q)↓ 172。r ? ((p↓ q)↓ (p↓ q))↓ (r↓ r)\ 分析 在將公式化成 {↑ }或 {↓ }中公式時 ,應分以下幾步 :(1)先將公式化成全功能集 {172。,∧ ,∨ }中的公式 . (2) 使用 172。A ? 172。(A∧ A)? A↑ A, 17 或 172。A ? 172。(A∨ A)? A↓ A∧ B? 172。172。(A∧ B)? 172。(A↑ B) ? (A↑ B)↑ (A↑ B)或 A∨ B? 172。172。(A∨ B)? 172。(A↓ B) ? (A↓ B)↓ (A↓ B)使用德摩根律 A∧ B? 172。172。(A∧ B)? 172。(172。A∨ 172。B) ? 172。A ↓ 172。B? (A↓ A)↓ (B↓ B)或 A∨ B? 172。172。(A∨ B)? 172。(172。A∧ 172。B) ? 172。A ↑ 172。B? (A↑ A)↑ (B↑ B)1． 15 設 p：礦樣為鐵； q：礦樣為銅； r：礦樣為錫 . 設 F1? (甲全對 )∧ (乙對一半 )∧ (丙全錯 )， ? (172。p∧ 172。q)∧ ((172。p∧ 172。r)∨ (p∧ r))∧ (172。p∧ r)? (172。p∧ 172。q∧ 172。p∧ 172。r∧ 172。p∧ r) ∨ (172。p∧ 172。q ∧ p∧ r∧ 172。p∧ r) ? 0∨ 0? 0. F2? (甲全對 )∧ (乙全錯 )∧ (丙對一半 ) ? (172。p∧ 172。q)∧ (p∧ 172。r)∧ ((p∧ r)∨ (172。p∧ 172。r) 18 ? (172。p∧ 172。q∧ p∧ 172。r∧ p∧ r) ∨ (172。p∧ 172。q ∧ p∧ r∧ 172。p∧ 172。r) ? 0∨ 0? 0 F3? (甲對一半 )∧ (乙全對 )∧ (丙全錯 ) ? ((172。p∧ q)∨ (p∧ 172。q))∧ (172。p∧ r)∨ (172。p∧ 172。r) ? (172。p∧ q∧ 172。p∧ r∧ 172。p∧ r ∨ (p∧ 172。q∧ 172。p∧ r∧ 172。p∧ r) ? (172。p∧ q∧ r)∨ 0 ? 172。p∧ q∧ r. F4? (甲對一半 )∧ (乙全錯 )∧ (丙全對 )? ((172。p∧ q)∨ (p∧ 172。q))∧ (p∧ 172。r)∧ (p∧ 172。r) ? (172。p∧ q172?！?172。r∧ p∧ 172。r ∨ (p∧ 172。q∧ p∧ 172。r∧ p∧ 172。r) ? 0∨ (p∧ 172。q∧ 172。r) ? p∧ 172。q∧ 172。r. F5? (甲會錯 )∧ (乙對一半 )∧ (丙全對 ) ? (p∧ q)∧ ((172。p∧ 172。r)∨ (p∧ r))∧ (p∧ 172。r) ? (p∧ q∧ 172。p∧ 172。r∧ p∧ 172。r ∨ (p∧ q∧ p∧ r∧ p∧ 172。r) ? 0∨ 0 ? 0. F6? (甲全錯 )∧ (乙全對 )∧ (丙對一半 ) ? (p∧ q)∧ ((172。p∧ r)∧ ((p∧ r)∨ (172。p∧ 172。r) 19 ? (p∧ q∧ 172。p∧ r∧ p∧ r ∨ (p∧ q∧ 172。p ∧ r∧ 172。p∧ 172。r) ? 0∨ 0 ? 0. 設 F? (一人全對 )∧ (一人對一半 )∧ (一人全錯 ) 則 F 為真命題，并且 F? F1∨ F2∨ F3∨ F4∨ F5∨ F6 ? (172。p∧ q∧ r)∨ (p∧ 172。q∧ 172。r)? 1. 但，礦樣不可能既是銅又是錫，于是 q,r 中必有假命題，所以 172。p∧ q∧ r? 0,因而必有 p∧ 172。q∧ 172。r? 1. 于是，必有 P 為真， q 與 r 為假，即礦樣為鐵。 令 p：今天是 1 號； q：明天是 5 號 . 由于本題給出的推理都比較簡單，因而可以直接判斷推理的形式結構是否為重言式。 （ 1）推理的形式結構為 (p→ q)∧ p→ q. 可以用多種方法判斷上公式為重言式，其實，本推理滿足假言推理定律，即 (p→ q)∧ p? q. 所以，推理正確。 （ 2）推理的形式結構為 (p→ q)∧ p→ q. 可以用多種方法證明上公式不是重言式，其實，當 p 為假（即今天不是 1 號）， q 為真（明天真是 5 號），也即 01 是上面公式的成假賦值，所以，推理的 20 形式結構不是重方式，故，推理不正確。 （ 3）推理的形式結構為 (p→ q)∧ 172。p→ 172。q. 可以用多種方法證明上面公式為重言式，其實，它滿足拒取式推理定律，即 (p→ q)∧ 172。p? 172。q. 所以，推理正確。 （ 4）推理的形式結構為 (p→ q)∧ 172。p→ 172。q. 可以用多種方法證明上公式不是重言式， 01 為上公式的成假賦值，所以，推理不正確。 分析 對于前提與結論都比較簡單的推理，最好直接判推理的形式結構是否為重言式，來判斷推理是否正確，若能觀察出一個成假賦值，立刻可知，推理不正確。 1． 17 (1) 證明 ① 172。q∨ r 前提引入 ② 172。r 前提引入 ③ 172。q ①②析取三段論 ④ 172。(p∧ 172。q) 前提引入 ⑤ 172。p∨ q ④置換 ⑥ 172。p ②⑤析取三段論 （ 2） 證明 ① p→ (q→ s) 前提引入 ② q→ (q→ s) ①置換 ③ q 前提引入 ④ p→ s ②③假言推理 ⑤ p∨ 172。r 前提引入 21 ⑥ r→ p ⑤置換 ⑦ r→ s ④⑥假言三段論 （ 3） 證明 ① p 附加前提引入② p→ q 前提引入 ③ q ①②假言推理 ④ p∧ q ①③合取 或者 證明 ① p→ q 前提引入② 172。p ∨ q ①置換 ③ (172。p∨ p)∧ (172。p∨ q) ②置換 ④ 172。p∨ (p∧ q) ③置換 ⑤ p→ (p∧ q) ④置換 （ 4） 證明 ① 前提引入② (s→ t)∧ (t→ s) ①置換 ③ ②化簡 ④ t∧ r 前提引入 ⑤ t ⑥ s ③⑤假言推理⑦ 前提引入 ⑧ (q→ s)∧ (s→ q) ⑦置換 ⑨ s?q ⑧化簡 ⑩ q ⑥⑨似言推理 ? q? p 前提引入 22 ? p ⑩ ? 假言推理 ? r