第80講極坐標系及簡單的極坐標方程(編輯修改稿)
2025-08-19 09:52 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 坐標方程為 θ= (ρ∈ R). 34?34?34?(3)將 x=ρcosθ,y=ρsinθ代入 ， 得 ρ2cos2θρ2sin2θ=2ρcosθ, 即 ρ=0 或ρ= . 而 ρ=0表示極點 ,ρ= 過極點 ， 故所求極坐標方程為 ρ= . 2coscos 2??2coscos 2??2coscos 2??點評點評 （ 1） 注意極坐標與直角坐標的互化需滿足三個條件： ① 原點與極點重合； ② x軸正半軸與極軸重合； ③ 長度單位相同 . (2)注意極坐標與直角坐標互化中的等價性 ， 特別是兩邊同乘以 ρ時 ， 要注意 ρ=0是否是方程的解 ， 若不是 ， 要去掉該解 . 變式變式變式 (1)曲線的極坐標方程為 ρ=cosθsinθ,則其直角坐標方程為 .軌跡為 。 (2)已知直線的極坐標方程為 ρsin(θ+ )= ,則極點到該直線的距離是 . 4? 22 (1)由 ρ=cosθsinθ，兩邊同乘以 ρ， 得 ρ2=ρcosθρsinθ， 將 ρ2=x2+y2， ρcosθ=x， ρsinθ=y， 代入得 x2+y2x+y=0. 又極點在曲線 ρ=cosθsinθ上， 故所求為 x2+y2x+y=0， 其軌跡為以 ( ， )為圓心 , 為半徑的圓 . 121222(2)(方法一 )由 ρsin(θ+ )= ， 得 ρsinθ+ρcosθ=1， 將 ρcosθ=x， ρsinθ=y，代入得 x+y1=0. 由點到直線的距離公式得 = . （方法二）將方程化為 ρ= . 由于 |sin(θ+ |≤1，所以 ρmin= ， 即極點到直線的距離為 . 4? 22| 0 0 1 |2?? 2222si n( )4?? ?4? 2222題型三 求極坐標方程 例 3 過極點 O的直線和直線 ρcosθ=4交于點 M ， 在 OM 上取一點 P ， 使OMOP=12,求點 P的軌跡的方程 ， 并說明軌跡是什么曲線 . 設點 M的極坐標為 (ρ1,θ1),點 P的坐標為 (ρ,θ), ρ1ρ=12 θ =θ1. 又因為 ρ1cosθ1=4,則 ρcosθ=4,即 ρ=3cosθ. 故軌跡是以 (,0)為圓心 ， . 則 12點評點評 求動點的極坐標軌跡方程的步驟與在直角坐標系中求軌跡方程類似 ，且關鍵是從幾何的角度獲得動點 P(ρ,θ)的關系式 . 變式變式變式 已 知 在 △ ABC 中 ，AB=6， AC=4， 當 ∠ A變化時 ，求 ∠ A的平分線與 BC的中垂線的交點 P的軌跡 . 取 A為極點 ， AB所在射線為極軸 ，建立極坐標系 . 因為 AP平分 ∠ BAC， MP為 BC的中垂線 ， 所以 PB=PC,設 P(ρ,θ)(ρ0， θ且 θ≠0)， 2?2?則 PC2=AP2+AC22APACcosθ =ρ2+168ρcosθ, PB2=AP2+AB22APABcosθ =ρ2+3612ρcosθ, 所以 ρ2+168ρcosθ=ρ2+3612ρcosθ， 即 ρcos=5(ρ0， θ 且 θ≠0). 所以點 P的軌跡是與 AB垂直且與 A的距離為5的一條直線 （ 除去垂足 ） . 2?2?題型四 極坐標及極坐標方程的應用 例 4 已知
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