【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 也為單值，求應(yīng)力（物理方程）也為單值。 單值條件 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 按應(yīng)力求解時(shí)：取應(yīng)力為單值，求形變（物理方程）也為單值，求位移（由幾何方程積分），常常會(huì)出現(xiàn)多值項(xiàng)。 對(duì)于單連體，通過校核邊界條件等，位移單值條件往往已自然滿足； 對(duì)于多連體，應(yīng)校核位移單值條件，并使之滿足。 按應(yīng)力求解時(shí)，對(duì)于多連體須要校核位移的單值條件。 單值條件 ?第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 思考題 軸對(duì)稱應(yīng)力條件下的通解，可以應(yīng)用于各種應(yīng)力和位移邊界條件的情形。試考慮下列圓環(huán)或圓弧的問題應(yīng)如何求解： (1) 內(nèi)邊界受均勻壓力 ，而外邊界為固定邊； (2) 外邊界受均勻壓力 ，而內(nèi)邊界為固定邊； (3) 外邊界受到強(qiáng)迫均勻位移 ，而內(nèi)邊界為 自由 (如車輛的輪箍作用 )； (4) 內(nèi)邊界受到強(qiáng)迫均勻位移 ，而外邊界為 自由。 ???ρu??ρu1q2q第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 167。 4－ 7 壓力隧洞 本題是兩個(gè)圓筒的接觸問題，兩個(gè)均為軸對(duì)稱問題（平面應(yīng)變問題）。 — 圓筒埋在無(wú)限大彈性體中，受有均布內(nèi)壓力。圓筒和無(wú)限大彈性體的彈性常數(shù)分別為 ., 39。μEμE ?和壓力隧洞 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 不符合均勻性假定，必須分別采用兩個(gè)軸對(duì)稱解答： 圓筒 ? ? ? ?, CBA,u,u, σσRρr υρυρ??無(wú)限大彈性體 ? ? ? ?。39。39。39。39。39。39。39。 , CBA,u,u, σσρR υρυρ???壓力隧洞 ?第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 應(yīng)考慮的條件： （ 1）位移單值條件： （ 2）圓筒內(nèi)邊界條件： （ 3）無(wú)限遠(yuǎn)處條件，由圣維南原理 。0,0 ??? BB。0)(,)( ??? ?? rr q ????? ??壓力隧洞 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 。?????????? ????uuuu ????????,。,由（ 1） — （ 4）條件，解出解答（書中式（ 4 16））。 （ 4） 的接觸條件，當(dāng)變形后兩彈性體 保持連續(xù)時(shí)，有 Rρ?壓力隧洞 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 。 (1) 完全接觸 ： 變形后兩彈性體在 s上仍然保持連續(xù)。這時(shí)的接觸條件為：在 s上 ,??? ? nn ??,??? ? nn uu 。??? ? tt uu。??? ? nn ??s 1t1n???當(dāng)兩個(gè)彈性體 ，變形前在 s上互相接觸，變形后的 接觸條件可分為幾種情況 ： III,接觸問題 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 (2) 有摩阻力的滑動(dòng)接觸 ：變形后在 s上法向保持連續(xù)，而切向產(chǎn)生有摩阻力的相對(duì)滑移，則在 s上的接觸條件為 ,??? ? nn ?? 。??? ? nn uu,Cf nnn ???? ???? ???其中 C為凝聚力。 接觸問題 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 (4) 局部脫離 ：變形后某一部分邊界上兩彈性體脫開，則原接觸面成了自由面。在此部分脫開的邊界上，有 (3) 光滑接觸 ：變形后法向保持連續(xù)，但切向產(chǎn)生無(wú)摩阻力的光滑移動(dòng)，則在 s上的接觸條件為 ,??? ? nn ?? 。??? ? nn uu。0?? ??? nn ??。0???? ?????? nnnn ????接觸問題 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 在工程上 ， 有許多接觸問題的實(shí)際例子 。如機(jī)械中軸與軸承的接觸 ， 基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)與地基的接觸 ， 壩體分縫處的接觸等等 。 一般在接觸邊界的各部分 ， 常常有不同的接觸條件 ，難以用理論解表示 。 我們可以應(yīng)用有限單元法進(jìn)行仔細(xì)和深入的分析 。 接觸問題 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 3. 有限值條件 o rq圖（ a） 設(shè)圖 （ a） 中半徑為 r的圓盤受法向均布?jí)毫?q作用 ， 試求其解答 。 有限值條件 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 引用軸對(duì)稱問題的解答 ， 并考慮邊界 上的條件 ， 上述問題還是難以得出解答 。 這時(shí) ， 我們可以考慮 所謂有限值條件 ，即除了應(yīng)力集中點(diǎn)外 ， 彈性體上的應(yīng)力應(yīng)為有限值 。 而書中式 (411)的應(yīng)力表達(dá)式中 ，當(dāng) 時(shí) ， 和 中的第一 、 二項(xiàng)均趨于無(wú)限大 ， 這是不可能的 。 按照有限值條件 ， 當(dāng) 時(shí) ， 必須有 A=B=0。 rρ?rρ? υρ σσ0?ρ有限值條件 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 在彈性力學(xué)問題中 ， 我們是在區(qū)域內(nèi)和邊界上分別考慮靜力條件 、 幾何條件和物理?xiàng)l件后 ， 建立基本方程及其邊界條件來(lái)進(jìn)行求解的 。 一般地說(shuō) ， 單值條件和有限值條件也是應(yīng)該滿足的 ， 但是這些條件常常是自然滿足的 。 而在下列的情形下須要進(jìn)行校核： (1)按應(yīng)力求解時(shí) ， 多連體中的位移單值條件 。 有限值條件 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 在彈性力學(xué)的復(fù)變函數(shù)解法中 ， 首先排除不符合單值條件和有限值條件的復(fù)變函數(shù) ， 從而縮小求解函數(shù)的范圍 ， 然后再根據(jù)其他條件進(jìn)行求解 。 (2)無(wú)應(yīng)力集中現(xiàn)象時(shí) ， 和 ，或 處 的 應(yīng)力的有限值條件 (因?yàn)檎⒇?fù)冪函數(shù)在這些點(diǎn)會(huì)成為無(wú)限大 )。 ?? 0ρ?? ,0, yx有限值條件 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 思考題 試考慮有兩套筒或三套筒互相接觸時(shí)，如何求解 ？ 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 工程結(jié)構(gòu)中常開設(shè)孔口，最簡(jiǎn)單的為圓孔。 本節(jié)研究‘ 小孔口問題 ’，應(yīng)符合 （ 1）孔口尺寸＜＜彈性體尺寸， → 故孔口引起的應(yīng)力擾動(dòng)局限于小范圍 內(nèi)。 167。 4－ 8 圓孔的孔口應(yīng)力集中 小孔口問題 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 （ 2）孔邊距邊界較遠(yuǎn)（＞ ） → 孔口與邊界不相互干擾。 當(dāng)彈性體開孔時(shí)，在小孔口附近，將發(fā) 生 應(yīng)力集中現(xiàn)象 。 小孔口問題 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 ，四邊受均布拉力 q， 圖(a)。 雙向受拉 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 。0, ??? ??? ??? qR內(nèi)邊界條件為， 。0,0, ??? ??? ??? r)( 0),1(),1( 2222arqrq 。????? ???? ?????將外邊界改造成為圓邊界，作 則有 ? ?,rRRρ ???因此，可以引用圓環(huán)的軸對(duì)稱解答，取 ,01?q且 R＞＞ r， 得 應(yīng)力解答 ,2 qq ??雙向受拉 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 2. 帶小圓孔的矩形板， x,y向分別受拉壓 力 ，圖 (b)。 ∴ 應(yīng)力集中系數(shù)為 2。 )( 2s i n,2c o s, bqqR 。????? ??? ????內(nèi)邊界條件為 )( 0,0, cr 。??? ??? ???)( q?最大應(yīng)力發(fā)生在孔邊， ,2, qσrρ υ ??作 圓，求出外邊界條件為 ? ?rRRρ ???雙向受拉壓 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 應(yīng)用半逆解法求解（非軸對(duì)稱問題） : 由邊界條件，假設(shè) 。2s in,2c o s υτυσ ρυρ ??)(2c o s)( dυρfΦ 。?代入相容方程， ,0]dddddddd[2c o s32223344????ρfρ9ρfρ9ρfρ2ρfυ由 ~ 關(guān)系，假設(shè) ， ∴ 設(shè) Φσ雙向受拉壓 υΦ 2c o s?第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 )()( 224 eρDCB ρA ρρf 。????除去 ，為歐拉方程，得解 υ2cos由式 (d)， (e) 得 ，并求出應(yīng)力。 Φ雙向受拉壓 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 校核邊界條件 (b),(c) ， 求出 A,B,C,D ， 得 應(yīng)力解答 ： )()31)(1(2s i n),31(2c os),31)(1(2c os2222442222fρrρrυqτρrυqσρrρrυqσρυυρ???????????????????。在孔邊 ， ，最大、最小應(yīng)力為 ，應(yīng)力集中系數(shù)為 。 υqσrρ υ 2c o s4???q4? 4?雙向受拉壓 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 ，只受 x向均布拉力 q。 單向受拉 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 )()31)(1(2s i n2),31(2c os2)1(2),31)(1(2c os2)1(222224422222222gρrρrυqτρrυqρrqσρrρrυqρrqσρυυρ????????????????????????。應(yīng)用圖示疊加原理，得 應(yīng)力解答 : 單向受拉 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 討論： qqqqσ906045300υυ 320ooooo???（ 1）孔邊應(yīng)力， )2c o s21( υqσυ ?? 最大應(yīng)力 3q ， 最小應(yīng)力 q。 單向受拉 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 。)23211(4422ρrρrqσσx ???? ?qqqqqσrrrrρx 432?? 遠(yuǎn)處（ 2) y軸 上應(yīng)力， )( o90υ ?可見，距孔邊 ，由于孔口引起的應(yīng)力擾動(dòng) 5%。 )4( rρ?單向受拉 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 。)13(2 2222????ρrρrqσσυy00 2 3 4323qqqqσrrrrrρy ??? 遠(yuǎn)處（ 3） x 軸 上應(yīng)力 ， )( o0υ ?同樣，距孔邊 ，由于孔口引起的應(yīng)力擾動(dòng) 5%。 )4( rρ?單向受拉 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 （ 1） 集中性 — 孔口附近應(yīng)力 遠(yuǎn)處的應(yīng)力， 孔口附近應(yīng)力 無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力。 （ 2） 局部性 — 應(yīng)力集中區(qū)域很小，約在距孔邊 （ D） 范圍內(nèi)。此區(qū)域外的應(yīng)力擾動(dòng)，一般 5%。 應(yīng)力集中現(xiàn)象 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 （ 3） 凹角的角點(diǎn)應(yīng)力高度集中 ，曲率半徑愈小，應(yīng)力愈大。 ???qqqσaaaυ ( 正交） 因此，工程上應(yīng)盡量避免接近直交的凹角出現(xiàn)。 如正方孔 的角點(diǎn)， aa?角點(diǎn)曲率半徑 應(yīng)力集中現(xiàn)象 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 ： （ 1）假設(shè)無(wú)孔，求出結(jié)構(gòu)在孔心處的 、 、 。 x?y? xy?（ 2）求出孔心處主應(yīng)力 .21 ,α,σσ（ 3）在遠(yuǎn)處的均勻應(yīng)力場(chǎng) 作用下，求 出孔口附近的應(yīng)力。 21,σσ小孔口解法 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 應(yīng)用彈性力學(xué)問題的復(fù)變函數(shù)解法，已經(jīng) 解出許多各種形狀的小孔口問題的解答。復(fù)變 函數(shù)解法是一種求解彈性力學(xué)解答的解析方法， 它將復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部 (均為實(shí)函數(shù) )分別 表示彈性力學(xué)的物理量，將彈性力學(xué)的相容方 程 (重調(diào)和方程 )也化為復(fù)變函數(shù)方程，并結(jié)合