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正文內(nèi)容

平面問題的極坐標(biāo)解答(編輯修改稿)

2025-06-01 22:47 本頁(yè)面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 也為單值,求應(yīng)力(物理方程)也為單值。 單值條件 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 按應(yīng)力求解時(shí):取應(yīng)力為單值,求形變(物理方程)也為單值,求位移(由幾何方程積分),常常會(huì)出現(xiàn)多值項(xiàng)。 對(duì)于單連體,通過校核邊界條件等,位移單值條件往往已自然滿足; 對(duì)于多連體,應(yīng)校核位移單值條件,并使之滿足。 按應(yīng)力求解時(shí),對(duì)于多連體須要校核位移的單值條件。 單值條件 ?第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 思考題 軸對(duì)稱應(yīng)力條件下的通解,可以應(yīng)用于各種應(yīng)力和位移邊界條件的情形。試考慮下列圓環(huán)或圓弧的問題應(yīng)如何求解: (1) 內(nèi)邊界受均勻壓力 ,而外邊界為固定邊; (2) 外邊界受均勻壓力 ,而內(nèi)邊界為固定邊; (3) 外邊界受到強(qiáng)迫均勻位移 ,而內(nèi)邊界為 自由 (如車輛的輪箍作用 ); (4) 內(nèi)邊界受到強(qiáng)迫均勻位移 ,而外邊界為 自由。 ???ρu??ρu1q2q第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 167。 4- 7 壓力隧洞 本題是兩個(gè)圓筒的接觸問題,兩個(gè)均為軸對(duì)稱問題(平面應(yīng)變問題)。 — 圓筒埋在無(wú)限大彈性體中,受有均布內(nèi)壓力。圓筒和無(wú)限大彈性體的彈性常數(shù)分別為 ., 39。μEμE ?和壓力隧洞 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 不符合均勻性假定,必須分別采用兩個(gè)軸對(duì)稱解答: 圓筒 ? ? ? ?, CBA,u,u, σσRρr υρυρ??無(wú)限大彈性體 ? ? ? ?。39。39。39。39。39。39。39。 , CBA,u,u, σσρR υρυρ???壓力隧洞 ?第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 應(yīng)考慮的條件: ( 1)位移單值條件: ( 2)圓筒內(nèi)邊界條件: ( 3)無(wú)限遠(yuǎn)處條件,由圣維南原理 。0,0 ??? BB。0)(,)( ??? ?? rr q ????? ??壓力隧洞 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 。?????????? ????uuuu ????????,。,由( 1) — ( 4)條件,解出解答(書中式( 4 16))。 ( 4) 的接觸條件,當(dāng)變形后兩彈性體 保持連續(xù)時(shí),有 Rρ?壓力隧洞 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 。 (1) 完全接觸 : 變形后兩彈性體在 s上仍然保持連續(xù)。這時(shí)的接觸條件為:在 s上 ,??? ? nn ??,??? ? nn uu 。??? ? tt uu。??? ? nn ??s 1t1n???當(dāng)兩個(gè)彈性體 ,變形前在 s上互相接觸,變形后的 接觸條件可分為幾種情況 : III,接觸問題 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 (2) 有摩阻力的滑動(dòng)接觸 :變形后在 s上法向保持連續(xù),而切向產(chǎn)生有摩阻力的相對(duì)滑移,則在 s上的接觸條件為 ,??? ? nn ?? 。??? ? nn uu,Cf nnn ???? ???? ???其中 C為凝聚力。 接觸問題 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 (4) 局部脫離 :變形后某一部分邊界上兩彈性體脫開,則原接觸面成了自由面。在此部分脫開的邊界上,有 (3) 光滑接觸 :變形后法向保持連續(xù),但切向產(chǎn)生無(wú)摩阻力的光滑移動(dòng),則在 s上的接觸條件為 ,??? ? nn ?? 。??? ? nn uu。0?? ??? nn ??。0???? ?????? nnnn ????接觸問題 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 在工程上 , 有許多接觸問題的實(shí)際例子 。如機(jī)械中軸與軸承的接觸 , 基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)與地基的接觸 , 壩體分縫處的接觸等等 。 一般在接觸邊界的各部分 , 常常有不同的接觸條件 ,難以用理論解表示 。 我們可以應(yīng)用有限單元法進(jìn)行仔細(xì)和深入的分析 。 接觸問題 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 3. 有限值條件 o rq圖( a) 設(shè)圖 ( a) 中半徑為 r的圓盤受法向均布?jí)毫?q作用 , 試求其解答 。 有限值條件 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 引用軸對(duì)稱問題的解答 , 并考慮邊界 上的條件 , 上述問題還是難以得出解答 。 這時(shí) , 我們可以考慮 所謂有限值條件 ,即除了應(yīng)力集中點(diǎn)外 , 彈性體上的應(yīng)力應(yīng)為有限值 。 而書中式 (411)的應(yīng)力表達(dá)式中 ,當(dāng) 時(shí) , 和 中的第一 、 二項(xiàng)均趨于無(wú)限大 , 這是不可能的 。 按照有限值條件 , 當(dāng) 時(shí) , 必須有 A=B=0。 rρ?rρ? υρ σσ0?ρ有限值條件 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 在彈性力學(xué)問題中 , 我們是在區(qū)域內(nèi)和邊界上分別考慮靜力條件 、 幾何條件和物理?xiàng)l件后 , 建立基本方程及其邊界條件來(lái)進(jìn)行求解的 。 一般地說(shuō) , 單值條件和有限值條件也是應(yīng)該滿足的 , 但是這些條件常常是自然滿足的 。 而在下列的情形下須要進(jìn)行校核: (1)按應(yīng)力求解時(shí) , 多連體中的位移單值條件 。 有限值條件 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 在彈性力學(xué)的復(fù)變函數(shù)解法中 , 首先排除不符合單值條件和有限值條件的復(fù)變函數(shù) , 從而縮小求解函數(shù)的范圍 , 然后再根據(jù)其他條件進(jìn)行求解 。 (2)無(wú)應(yīng)力集中現(xiàn)象時(shí) , 和 ,或 處 的 應(yīng)力的有限值條件 (因?yàn)檎⒇?fù)冪函數(shù)在這些點(diǎn)會(huì)成為無(wú)限大 )。 ?? 0ρ?? ,0, yx有限值條件 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 思考題 試考慮有兩套筒或三套筒互相接觸時(shí),如何求解 ? 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 工程結(jié)構(gòu)中常開設(shè)孔口,最簡(jiǎn)單的為圓孔。 本節(jié)研究‘ 小孔口問題 ’,應(yīng)符合 ( 1)孔口尺寸<<彈性體尺寸, → 故孔口引起的應(yīng)力擾動(dòng)局限于小范圍 內(nèi)。 167。 4- 8 圓孔的孔口應(yīng)力集中 小孔口問題 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 ( 2)孔邊距邊界較遠(yuǎn)(> ) → 孔口與邊界不相互干擾。 當(dāng)彈性體開孔時(shí),在小孔口附近,將發(fā) 生 應(yīng)力集中現(xiàn)象 。 小孔口問題 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 ,四邊受均布拉力 q, 圖(a)。 雙向受拉 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 。0, ??? ??? ??? qR內(nèi)邊界條件為, 。0,0, ??? ??? ??? r)( 0),1(),1( 2222arqrq 。????? ???? ?????將外邊界改造成為圓邊界,作 則有 ? ?,rRRρ ???因此,可以引用圓環(huán)的軸對(duì)稱解答,取 ,01?q且 R>> r, 得 應(yīng)力解答 ,2 qq ??雙向受拉 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 2. 帶小圓孔的矩形板, x,y向分別受拉壓 力 ,圖 (b)。 ∴ 應(yīng)力集中系數(shù)為 2。 )( 2s i n,2c o s, bqqR 。????? ??? ????內(nèi)邊界條件為 )( 0,0, cr 。??? ??? ???)( q?最大應(yīng)力發(fā)生在孔邊, ,2, qσrρ υ ??作 圓,求出外邊界條件為 ? ?rRRρ ???雙向受拉壓 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 應(yīng)用半逆解法求解(非軸對(duì)稱問題) : 由邊界條件,假設(shè) 。2s in,2c o s υτυσ ρυρ ??)(2c o s)( dυρfΦ 。?代入相容方程, ,0]dddddddd[2c o s32223344????ρfρ9ρfρ9ρfρ2ρfυ由 ~ 關(guān)系,假設(shè) , ∴ 設(shè) Φσ雙向受拉壓 υΦ 2c o s?第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 )()( 224 eρDCB ρA ρρf 。????除去 ,為歐拉方程,得解 υ2cos由式 (d), (e) 得 ,并求出應(yīng)力。 Φ雙向受拉壓 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 校核邊界條件 (b),(c) , 求出 A,B,C,D , 得 應(yīng)力解答 : )()31)(1(2s i n),31(2c os),31)(1(2c os2222442222fρrρrυqτρrυqσρrρrυqσρυυρ???????????????????。在孔邊 , ,最大、最小應(yīng)力為 ,應(yīng)力集中系數(shù)為 。 υqσrρ υ 2c o s4???q4? 4?雙向受拉壓 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 ,只受 x向均布拉力 q。 單向受拉 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 )()31)(1(2s i n2),31(2c os2)1(2),31)(1(2c os2)1(222224422222222gρrρrυqτρrυqρrqσρrρrυqρrqσρυυρ????????????????????????。應(yīng)用圖示疊加原理,得 應(yīng)力解答 : 單向受拉 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 討論: qqqqσ906045300υυ 320ooooo???( 1)孔邊應(yīng)力, )2c o s21( υqσυ ?? 最大應(yīng)力 3q , 最小應(yīng)力 q。 單向受拉 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 。)23211(4422ρrρrqσσx ???? ?qqqqqσrrrrρx 432?? 遠(yuǎn)處( 2) y軸 上應(yīng)力, )( o90υ ?可見,距孔邊 ,由于孔口引起的應(yīng)力擾動(dòng) 5%。 )4( rρ?單向受拉 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 。)13(2 2222????ρrρrqσσυy00 2 3 4323qqqqσrrrrrρy ??? 遠(yuǎn)處( 3) x 軸 上應(yīng)力 , )( o0υ ?同樣,距孔邊 ,由于孔口引起的應(yīng)力擾動(dòng) 5%。 )4( rρ?單向受拉 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 ( 1) 集中性 — 孔口附近應(yīng)力 遠(yuǎn)處的應(yīng)力, 孔口附近應(yīng)力 無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力。 ( 2) 局部性 — 應(yīng)力集中區(qū)域很小,約在距孔邊 ( D) 范圍內(nèi)。此區(qū)域外的應(yīng)力擾動(dòng),一般 5%。 應(yīng)力集中現(xiàn)象 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 ( 3) 凹角的角點(diǎn)應(yīng)力高度集中 ,曲率半徑愈小,應(yīng)力愈大。 ???qqqσaaaυ ( 正交) 因此,工程上應(yīng)盡量避免接近直交的凹角出現(xiàn)。 如正方孔 的角點(diǎn), aa?角點(diǎn)曲率半徑 應(yīng)力集中現(xiàn)象 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 : ( 1)假設(shè)無(wú)孔,求出結(jié)構(gòu)在孔心處的 、 、 。 x?y? xy?( 2)求出孔心處主應(yīng)力 .21 ,α,σσ( 3)在遠(yuǎn)處的均勻應(yīng)力場(chǎng) 作用下,求 出孔口附近的應(yīng)力。 21,σσ小孔口解法 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 應(yīng)用彈性力學(xué)問題的復(fù)變函數(shù)解法,已經(jīng) 解出許多各種形狀的小孔口問題的解答。復(fù)變 函數(shù)解法是一種求解彈性力學(xué)解答的解析方法, 它將復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部 (均為實(shí)函數(shù) )分別 表示彈性力學(xué)的物理量,將彈性力學(xué)的相容方 程 (重調(diào)和方程 )也化為復(fù)變函數(shù)方程,并結(jié)合
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