高三數學轉化與化歸思想(編輯修改稿)
2024-12-16 00:23 本頁面
【文章內容簡介】 a ≥ 3 或 a ≤ － 3， ∴ a ≤ － 3 或 3 ≤ a ≤ 2. 即 A ∩ B ＝ ? 時， a 的取值范圍為 a ≤ － 3 或 3 ≤ a ≤ 2. 而 A ∩ B ≠ ? 時， a 的取值范圍顯然是其補集，從而所求范圍為 { a | a 2 或－ 3 a 3 } ． 答案 { a | a 2 或－ 3 a 3 } 題型三 以換元為手段的轉化與化歸 例 3 已知 a ∈ R ，求函數 y ＝ ( a － s i n x )( a － co s x ) 的最小 值． 思維啟迪 本題考查函數的最值問題、化歸思想及運算能力．觀察到等式右邊是關于 s i n x co s x 與 si n x ＋ co s x的三角式，可設 t ＝ si n x ＋ co s x ，則原問題可轉化為二次函數在閉區(qū)間上的最值問題． 解 函數可化為 y ＝ si n x co s x － a ( si n x ＋ co s x ) ＋ a2. 設 t ＝ si n x ＋ co s x ， 則 t ＝ 2 sin????????x ＋π4，故 t ∈ [ － 2 ， 2 ] ． 而 si n x c o s x ＝12[ ( si n x ＋ c o s x )2－ 1] ＝12( t2－ 1) ， 于是， y ＝ f ( t ) ＝ a2－ at ＋12( t2－ 1) ＝12t2－ at ＋ a2－12 ＝12( t － a )2＋12a2－12. 原問題化歸為求二次函數 f ( t ) ＝12( t － a )2＋12a2－12在 t ∈ [ － 2 ， 2 ] 上的最值問題． ( 1 ) 當－ 2 ≤ a ≤ 2 時，若 t ＝ a ， f ( t )m i n＝12a2－12； ( 2 ) 當 a ＞ 2 時， f ( t ) 在 [ － 2 ， 2 ] 上單調遞減， f ( t )m in＝ f ( 2 ) ＝ a2－ 2 a ＋12； ( 3 ) 當 a ＜－ 2 時， f ( x ) 在 [ － 2 ， 2 ] 上單調遞增． f ( t )m in＝ f ( － 2 ) ＝ a2＋ 2 a ＋12. 探究提高 此類問題換元后將問題化為熟知的二次函數問題，這種做法常被采用，在一個代數式中若 s i n x co s x與 si n x ＋ co s x 同時出現時，常設 t ＝ s i n x ＋ co s x 進而表示 出 si n x co s x ，原式轉化為含有 t 的代數式進行求解，使問題順利解決． 變式訓練 3 已知奇函數 f ( x ) 的定義域為實數集 R ，且 f ( x ) 在 [0 ，＋ ∞ ) 上是增函數，當 0 ≤ θ ≤π2時，是否存在這樣的實數 m ，使 f ( c o s 2 θ － 3) ＋ f (4 m － 2 m c o s θ ) f ( 0 )對所有的 θ ∈????????0 ，π2均成立？若存在，求出所有適合條件的實數 m ；若不存在，請說明理由． 解 因為 f ( x ) 在 R 上為奇函數，又在 [0 ，＋ ∞ ) 上是增函數， 故 f ( x ) 在 R 上為增函數，且 f ( 0 ) ＝ 0. 由題設條件可得， f ( c o s 2 θ － 3) ＋ f (4 m － 2 m c o s θ ) 0 . 又由 f ( x ) 為奇函數，可得 f ( c o s 2 θ － 3 ) f (2 m c o s θ － 4 m ) ． ∵ f ( x ) 在 R 上為增函數， ∴ c o s 2 θ － 3 2 m c o s θ － 4 m ， 即 c o s2θ － m c o s θ ＋ 2 m － 2 0 . 令 c o s θ ＝ t ， ∵ 0 ≤ θ ≤π2， ∴ 0 ≤ t ≤ 1. 于是問題轉化為對一切 0 ≤ t ≤ 1 ， 不等式 t2－ mt ＋ 2 m － 2 0 恒成立． ∴ t2－ 2 m ( t － 2) ，即 m t2－ 2t － 2恒成立． 又 ∵t2－ 2t － 2＝ ( t － 2) ＋2t － 2＋ 4 ≤ 4 － 2 2 ， ∴ m 4 － 2 2 ， ∴ 存在實數 m 滿足題設的條件， m 4 － 2 2 . 規(guī)律方法總結 在將問題進行化歸與轉化時，一般應遵循以下幾種原則： ( 1 ) 熟悉化原則：將陌生的問題轉化為我們熟悉的問題． ( 2 )
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