一、問題的提出(編輯修改稿)
2025-08-13 23:19 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 xf 公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時間，即乘客的候車時間等 . 均勻分布常見于下列情形： 如在數(shù)值計算中，由于四舍五 入，小數(shù)點后某一位小數(shù)引入的誤差； 例 1 某公共汽車站從上午 7時起，每 15分鐘來一班車，即 7:00， 7:15， 7:30, 7:45 等時刻 有汽車到達此站，如果乘客到達此站時間 X 是7:00 到 7:30 之間的均勻隨機變量 , 試求他候車 時間少于 5 分鐘的概率 . 解： 依題意， X ～ U ( 0, 30 ) 以 7:00為 起點 0，以分為單位 ????? ???其它,0300,301)(xxf 為使候車時間 X少于 5 分鐘，乘客必須在 7:10 到 7:15 之間，或在 7:25 到 7:30 之間到達車站 . 所求概率為： 從上午 7時起，每 15分鐘來一班車，即 7:00，7:15， 7:30等時刻有汽車到達汽車站， }3025{}1510{ ????? XPXP????? ???其它,0300,301)( xxf31301301 30251510??? ?? dxdx即乘客候車時間少于 5 分鐘的概率是 1/3. 則稱 X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布 . ? 指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計研究中，如元件的壽命 . （ 2）若 X具有概率密度 ???????000)(xxexfx?? 0??常簡記為 X~E( ) . ? 至此，我們已初步介紹了兩類重要的隨機變量 : 離散型 f (x) x o x P(x) o 對它們分別用概率函數(shù)和密度函數(shù)描述 . 設(shè) X是一個離散型隨機變量 ， 它可能取的值是 x1, x2 , … . 為了描述隨機變量 X ，我們不僅需要知道隨機變量 X的取值，而且還應(yīng)知道X取每個值的概率 . 這樣，我們就掌握了 X這個隨機變量取值的概率規(guī)律 . 從中任取 3 個球 取到的白球數(shù) X是一個隨機變量 X可能取的值是 0,1,2 取每個值的概率為 101)0(3533 ???CCXP106)1(351223 ???CCCXP103)2(352213 ???CCCXP例 1 且 ????311iiXP )(其中 (k=1,2, …) 滿足： kp,0?kp k=1,2, … （ 1） ? ?kkp 1（ 2） 定義 1 ：設(shè) xk(k=1,2, … )是離散型隨機變量 X所取的一切可能值 ， 稱 k=1,2,… … ,)( kk pxXP ??為離散型隨機變量 X的概率函數(shù)或分布律 ， 也稱概率分布 . 用這兩條性質(zhì)判斷 一個函數(shù)是否是 概率函數(shù) 一、離散型隨機變量概率分布的定義 解 : 依據(jù)概率函數(shù)的性質(zhì) : ? ??kkXP 1)(P(X =k)≥0, 1!0??????? aekakk a≥0 從中解得 欲使上述函數(shù)為概率函數(shù) 應(yīng)有 ??? ea????0kkke!??這里用到了常見的 冪級數(shù)展開式 例 2. 設(shè)隨機變量 X的概率函數(shù)為： ,!)(kakXPk???k =0,1,2, …, 試確定常數(shù) a . 0??二、表示方法 （ 1）列表法： （ 2）圖示法 （ 3）公式法 ????????103106101210X~ 2,1,0,)( 35233 ????kCCCkXP kk再看例 1 任取 3 個球 X為 取到的白球數(shù) X可能取的值 是 0,1,2 k PK 0 1 2 三、舉例 例 3. 某籃球運動員投中籃圈概率是 ，求他兩次獨立投籃投中次數(shù) X的概率分布 . 解： X可取 0、 2為值 P(X =0)=()()= P(X =1)= 2()() = P(X =2)=()()= 且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1 常常表示為： ??????210~X這就是 X的概率分布 . 例 4. 某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊 ， 直到命中為止 ， 已知他每發(fā)命中的概率是 p， 求 所需射擊發(fā)數(shù) X 的概率函數(shù) . 解 : 顯然， X 可能取的值是 1,2,… ， P(X=1)=P(A1)=p, 為計算 P(X =k )， k = 1,2, … ， Ak = {第 k發(fā)命中 }， k =1, 2, … ， 設(shè) 于是 pp ??? )1( )()2( 21 AAPXP ??)()3( 321 AAAPXP ?? pp ??? 2)1(????,2,1?k ppkXP k ???? ? 1)1()(可見 這就是求 所需射擊發(fā)數(shù) X的概率函數(shù) . P(X=1)=P(A1)=p, Ak = {第 k發(fā)命中 }， k =1, 2, … ， 設(shè) 于是 pp ??? )1( )()2( 21 AAPXP ??)()3( 321 AAAPXP ?? pp ??? 2)1(?? 若隨機變量 X的概率函數(shù)如上式 ， 則稱 X具有 幾何分布 . 不難驗證 : 1)1(11 ???????kk pp??,2,1?k ppkXP k ???? ? 1)1()(例 5. 一汽車沿一街道行駛 ， 需要通過三個均設(shè)有紅綠信號燈的路口 ， 每個信號燈為紅或綠與其它信號燈為紅或綠相互獨立 ， 且紅綠兩種信號燈顯示的時間相等 . 以 X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù) ， 求 X的概率分布 . 解 : 依題意 , X可取值 0, 1, 2, 3. P(X=0)=P(A1)=1/2, Ai={第 i個路口遇紅燈 }, i=1,2,3 設(shè) 路口 3 路口 2 路口 1 P(X=1)=P( ) 21AA2121 ?? = 1/4 321 AAA P(X=2)=P( ) 212121 ??? =1/8 X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù) 路口 3 路口 2 路口 1 路口 3 路口 2 路口 1 Ai={第 i個路口遇紅燈 }, i=1,2,3 設(shè) 321 AAA=1/8 P(X=3)= P( ) 212121 ???路口 3 路口 2 路口 1 ??????????81814
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