一、問題的提出-資料下載頁
2025-07-17 23:19本頁面
【正文】 排列為： 求 X的分布函數(shù) . x(1) x(2) … x (n) ?? ??x(k) x x(k+1)時， F(x)=P(X x)=k/n, ? ?? x x(n)時， F(x)=P(X x)=1 ??解： 將 X所取的 n個值按從小到大的順序 排列為： 求 X的分布函數(shù) . 例 2 X具有離散均勻分布，即 P(X=xi )=1/n, i=1,2,… ， n， x(1) x(2) … x (n) ?? ?于是得 ??????????????),(m a x,1),2,1(),(m i n,),(m i n,0)(111njnnxxxxknjxxxxnkxxxxF????當個不大于恰有中且當當這個結(jié)果在數(shù)理統(tǒng)計中有用 . 例 2 X具有離散均勻分布，即 P(X=xi )=1/n, i=1,2,… ， n， 求 X的分布函數(shù) . 三、連續(xù)型 即分布函數(shù)是密度函數(shù)的可變上限的 定積分 . 若 X 是連續(xù)型 ， X ～ f (x) , 則 F(x) = P(X x) = ? ??x dttf )(? f (x) x o 由上式可得，在 f (x)的連續(xù)點， )()( xfdxxdF ?下面我們來求一個連續(xù)型 的分布函數(shù) . 例 3 設 X 的密度函數(shù)為 f (x) ????? ?????其它0,11,12)(2 xxxf ? 求 F(x). F(x) = P(X x) = ? ??x dttf )(?解： 求 F(x). 解： 對 x 1， F(x) = 0 ?? ???? ???? x dttdtxF 1 21 120)( ?21a r c s i n11 2 ???? xxx??,11 ??? x對 對 x1， F (x) = 1 ??????????其它,011,12)(2 xxxf ????????????????1,111,21a r c s i n111,0)(2xxxxxxxF??即 四、分布函數(shù)的性質(zhì) (1) F(x) 非降，即若 x1x2，則 F(x1) F(x2) 。 ???(2) F( ) = F(x) = 0 ???xlim(3) F(x) 右連續(xù)，即 )()(lim 00xFxFxx??? 如果一個函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個 X 的分布函數(shù) . 也就是說，性質(zhì) (1)(3)是鑒別一個函數(shù)是否是某 必要條件 . ??F( ) = F(x) = 1 ???xlim試說明 F(x)能否是某個 的分布函數(shù) . 例 4 設有函數(shù) F(x) ??? ???其它00s i n)(?xxxF解： 注意到函數(shù) F(x)在 上下降， 不滿足性質(zhì) (1)，故 F(x)不能是分布函數(shù) . ],2[ ??不滿足性質(zhì) (2)， 可見 F(x)也不 能是 的 分布函數(shù) . 或者 0)(lim)( ???? ??? xFF x 例 5 在區(qū)間 [0， a] 上任意投擲一個質(zhì)點，以 X 表示這個質(zhì)點的坐標 . 設這個質(zhì)點落在 [0, a]中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比 ，試求 X 的分布函數(shù) . 解： 設 F(x) 為 X 的分布函數(shù)， 當 x 0 時， F(x) = P(X x) = 0 ?0 a 當 x a 時， F(x) =1 當 0 x a 時， P(0 X x) = kx (k為常數(shù) ) ? ? ??由于 P(0 X a) = 1 ka=1， k = ??? 1/a 0 a ? ? F(x) = P(X x) = P(X0) + P(0 X x) ?=x / a 例 5 在區(qū)間 [0， a] 上任意投擲一個質(zhì)點，以 X 表示這個質(zhì)點的坐標 . 設這個質(zhì)點落在 [0, a]中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比 ，試求 X 的分布函數(shù) . 解： 設 F(x) 為 X 的分布函數(shù)， ???????????axaxaxxxF,10,0,0)( 例 5 在區(qū)間 [0， a] 上任意投擲一個質(zhì)點，以 X 表示這個質(zhì)點的坐標 . 設這個質(zhì)點落在 [0, a]中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比 ，試求 X 的分布函數(shù) . 這就是在區(qū)間 [0， a]上服從均勻分布的隨機變量的分布函數(shù) . ? ??? x dttfxF )()(大家一起來作下面的練習 . 求 F(x). ???????????其它,021,210,)(~ xxxxxfX例 6 設 由于 f(x)是分段 表達的，求 F(x)時 注意分段求 . ? ??? x dttfxF )()(= 0 ? 1 ?x tdt0?? ?? x dttt d t 110 )2(0?x10 ?? x21 ?? x2?xF(x) ???????????其它,021,210,)(~ xxxxxfX對連續(xù)型 ， 若已知 F(x)， 我們通過求導也可求出 f (x)， 請看下例 . ??????????????????2,121,21210,20,0)(22xxxxxxxxF即 ??????????1110002xxxxxF,)(例 7 設 (1) 求 X取值在區(qū)間 (,)的概率； (2) 求 X的概率密度 . 解 : (1) P(X)=F()F() == dxxdF )( (2) f(x)= 注意到 F(x)在 1處導數(shù)不存在，根據(jù)改變被積函數(shù)在個別點處的值不影響積分結(jié)果的性質(zhì)，可以在 沒意義的點處，任意規(guī)定 的值 . )( xF? )( xF???? ???其它,010,2 xx這一講我們介紹了 分布函數(shù) . 分布函數(shù) 離散型 分布函數(shù) 連續(xù)型 分布函數(shù) 分布函數(shù) 的性質(zhì) 概率函數(shù) 與分布函數(shù)的關(guān)系 概率密度 與分布函數(shù) 的關(guān)系
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