一、問題的提出-wenkub.com
2025-07-14 23:19 本頁面
【正文】 對 y0 , G(y)=0。 10 ?? y由于 對 0≤y≤1, G(y)=P(Y≤ y) =P(F(X)≤ y) =P(X ≤ (y)) 1?F1?F=F( (y))= y ??????????1,110,0,0)(yyyyyG即 Y的分布函數(shù)是 ??? ???其它,010,1)(yyg求導得 Y的密度函數(shù) 可見 , Y 服從 [0， 1]上的均勻分布 . 本例的結(jié)論在計算機模擬中有重要的應(yīng)用 . 例如，想得到具有密度函數(shù)為 的隨機數(shù) . ???????000)(xxexfx??0?? 參數(shù)為 的 指數(shù)分布 ? 根據(jù)前面的結(jié)論， Y=F(X)服從 [0,1]上的均勻分布 . 由于 當 x≥0時， xexF ???? 1)(是嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù) . 應(yīng)如何做呢？ Y=F(X)服從 [0,1]上的均勻分布 . 由于 當 x≥0時， xexF ???? 1)(是嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù) . 記 u=F(x)為 [0,1]上的隨機數(shù) , u=1 xe ??則由 x即為 指數(shù)分布的隨機數(shù) . 得 ?)1ln ( ux ???由于 1u仍為 [0,1]上的隨機數(shù) ,上式也可寫為 ?rx ln?? r為 [0,1]上的隨機數(shù) 于是得到產(chǎn)生指數(shù)分布的隨機數(shù)的方法如下 : 均勻隨機數(shù) r 給指數(shù)分布參數(shù) λ 指數(shù)隨機數(shù) 令 ?rx ln??x ????????其它,0,)()]([)(?? ydyydhyhfyf Y其中， ),(m in xgbxa ???? ),(m a x xgbxa ????此定理的證明與前面的解題思路類似 . x=h(y)是 y=g(x)的反函數(shù) 定理 設(shè) X是一個取值于區(qū)間 [a,b]，具有概率 密度 f(x)的連續(xù)型 ,又設(shè) y=g(x)處處可導，且 對于任意 x, 恒有 或恒有 ，則 Y=g(X)是一個 連續(xù)型 ，它的概率密度為 0)( ?? xg 0)( ?? xg例 6 設(shè)隨機變量 X在 (0,1)上服從均勻分布，求Y=2lnX的概率密度 . 解： 在區(qū)間 (0,1)上 ,函數(shù) lnx0, 故 y=2lnx0, 02 ???? xy于是 y在區(qū)間 (0,1)上單調(diào)下降，有反函數(shù) 2/)( yeyhx ???由前述定理得 ???????????其它,010,)()()(2/2/2/ yyyXYedyedefyf注意取 絕對值 ???????????其它,010,)()()(2/2/2/ yyyXYedyedefyf??? ???其它,010,1)(xxf X已知 X在 (0,1)上服從均勻分布， 代入 的表達式中 )( yfY????????其它,)(/0021 2yeyfyY得 即 Y服從參數(shù)為 1/2的指數(shù)分布 . 對于連續(xù)型隨機變量，在求 Y=g(X) 的分布時， 關(guān)鍵的一步是把事件 { g(X)≤ y } 轉(zhuǎn)化為 X在一定范圍內(nèi)取值的形式 ，從而可以利用 X 的分布來求 P { g(X)≤ y }. 我們介紹了隨機變量函數(shù)的分布 . 連續(xù)型隨機變量 X所有可能取值充滿一個區(qū)間 , 對這種類型的隨機變量 , 不能象離散型隨機變量那樣 , 以指定它取每個值概率的方式 , 去給出其概率分布 , 而是通過給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式 . 下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機變量的描述方法 . ???? ba dxxfbXaP )()(,使得對任意 , 有 ba ?? ),( ???? 對于隨機變量 X ,如果存在非負可積函數(shù)f(x) , x 則稱 X為連續(xù)型 ,稱 f(x)為 X 的概率密度函 數(shù)，簡稱為概率密度或密度 . 2. 連續(xù)型 3. 概率密度函數(shù)的性質(zhì) 1 o 0)( ?xf2 o ????? 1)( dxxf這兩條性質(zhì)是判定一個 函數(shù) f(x)是否為某 概率密度函數(shù)的充要條件 . f (x) x o 面積為 1 故 X的密度 f(x) 在 x 這一點的值，恰好是 X落在區(qū)間 上的概率與區(qū)間長度 之比的極限 . 這里，如果把概率理解為質(zhì)量， f (x)相當于線密度 . x?],( xxx ?? 若 x是 f(x)的連續(xù)點，則： xxxXxPx ???)(lim ???? 0 x)(lim0 ?? ?????xxxxdttf=f(x) 4. 對 f(x)的進一步理解 : 要注意的是，密度函數(shù) f (x)在某點處 a的高度，并不反映 X取值的概率 . 但是，這個高度越大，則 X取 a附近的值的概率就越大 . 也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度 . f (x) x o 若不計高階無窮小，有： xxfxxXxP ?? )(}{ ???? 它表示隨機變量 X 取值于 的概率近似等于 . ],( xxx ??xxf ?)(xxf ?)( 在連續(xù)型 kk pxXP ?? )(在離散型 作用相類似 . 連續(xù)型 0. 即： ,0)( ?? aXPa為任一指定值 這是因為 )(lim)(0xaXaPaXPx????????? ??? xaax dxxf?? )(lim 00?需要指出的是 : 由此得 ， )()( bXaPbXaP ?????)( bXaP ???1) 對連續(xù)型 X,有 )( bXaP ???2) 由 P(X=a)=0 可推知 ? ? 1)()()( ?????? ? ???aXPdxxfaRXP而 {X=a} 并非不可能事件 并非必然事件 }}{{ aRX ??稱 A為 幾乎不可能事件 ， B為 幾乎必然事件 . 可見， 由 P(A)=0, 不能推出 ??A由 P(B)=1, 不能推出 B=S 下面給出幾個 . 由于連續(xù)型 定 . 所以，若已知密度函數(shù)，該連續(xù)型 的概率規(guī)律就得到了全面描述 . f (x) x o （ 1）若 ： 則稱 X服從區(qū)間 ( a, b)上的均勻分布，記作： X ～ U(a, b) 它的實際背景是：
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