高三數(shù)學(xué)函數(shù)與方程思想(編輯修改稿)
2024-12-15 08:50 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 f ( 0 ) 0f ( 1 ) ≥ 0， 即????? － 1 － a 01 － a ≥ 0， ∴ － 1 a ≤ 1. 故 a 的取值范圍是 ( － 1 , 1 ] ． 探究提高 研究此類含參數(shù)的三角、指數(shù)、對(duì)數(shù)等復(fù)雜方程解的問(wèn)題，通常有兩種處理思路：一是分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù)，將方程有解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域；二是換元，將復(fù)雜方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的二次方程，進(jìn)而利用二次方程解的分布情況構(gòu)建不等式或構(gòu)造函數(shù)加以解決． 變式訓(xùn)練 2 已知函數(shù) f ( x ) ＝ 2 c o s2x ＋ c o s x － 1 ， g ( x ) ＝ c o s2x ＋ a ( c o s x ＋ 1) － c o s x － 3. 若 y ＝ f ( x ) 與 y ＝ g ( x ) 的圖 象在 (0 ， π) 內(nèi)至少有一個(gè)公共點(diǎn)．試求 a 的取值范圍． 解 y ＝ f ( x ) 與 y ＝ g ( x ) 的圖象在區(qū)間 (0 ， π) 內(nèi)至少有一個(gè)公共點(diǎn)，即????? y ＝ f ( x )y ＝ g ( x )有解，即令 f ( x ) ＝ g ( x ) ， c o s2x ＋ a (1 ＋ c o s x ) － c o s x － 3 ＝ 2 c o s2x ＋ c o s x － 1 ， a (1 ＋ c o s x ) ＝ ( c o s x ＋ 1)2＋ 1 ， ∵ x ∈ (0 ， π) ， ∴ 0 1 ＋ c o s x 2 ， ∴ a ＝ 1 ＋ c o s x ＋11 ＋ c o s x≥ 2. 當(dāng)且僅當(dāng) 1 ＋ c o s x ＝11 ＋ c o s x，即 c o s x ＝ 0 時(shí) “ ＝ ” 成立． ∴ 當(dāng) a ≥ 2 時(shí)， y ＝ f ( x ) 與 y ＝ g ( x ) 所組成的方程組在 (0 ， π)內(nèi)有解，即 y ＝ f ( x ) 與 y ＝ g ( x ) 的圖象至少有一個(gè)公共點(diǎn)． 題型三 函數(shù)與方程思想在不等式問(wèn)題中的應(yīng)用 例 3 已知 f ( t ) ＝ l o g 2 t ， t ∈ [ 2 ， 8] ，對(duì)于 f ( t ) 值域內(nèi)的 所有的實(shí)數(shù) m ，不等式 x2＋ mx ＋ 4 2 m ＋ 4 x 恒成立，求 x的取值范圍． 思維啟迪 解 ∵ t ∈ [ 2 ， 8] ， ∴ f ( t ) ∈??????12， 3 ，從而 m ∈??????12， 3 ， 原題可轉(zhuǎn)化為 m ( x － 2) ＋ ( x － 2)20 恒成立． 當(dāng) x ＝ 2 時(shí)，不等式不成立． ∴ x ≠ 2 ， 令 g ( m ) ＝ m ( x － 2) ＋ ( x － 2)2為 m 的一次函數(shù)． 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 g ( m ) 在 m ∈??????12， 3 上恒大于 0. ????? g??????120 ，g ( 3 ) 0 .解得 x 2 或 x － 1. 故 x 的取值范圍是 ( － ∞ ，－ 1) ∪ (2 ，＋ ∞ ) ． 求 f ( t ) 的值域 → 變更主元，將 m 看作主元 → 構(gòu)造 g ( m ) ＝ m ( x － 2) ＋ x 2 － 4 x ＋ 4. 探究提高 在解決不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問(wèn)題．同時(shí)要注意在一個(gè)含多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問(wèn)題更明朗化，一般地，已知存在范圍的量為變量，而待求范圍的量為參數(shù)． 變式訓(xùn)練 3 求自然數(shù) a 的最大值，使不等式1n ＋ 1 ＋1n ＋ 2＋ ? ＋13 n ＋ 1 a － 7 對(duì)一切自然數(shù) n 都成立． 解 令 f ( n ) ＝1n ＋ 1＋1n ＋ 2＋ ? ＋13 n ＋ 1 ( n ∈ N ) ． 對(duì)任意的 n ∈ N ， f ( n ＋ 1) － f ( n ) ＝13 n ＋ 2＋13 n ＋ 3＋13 n ＋ 4－1n ＋ 1 ＝23 ( n ＋ 1 ) ( 3 n ＋ 2 ) ( 3 n ＋ 4 )0 ， 所以 f ( n ) 在 N 上是增函數(shù)． 又 f ( 1) ＝1312， f ( 0 ) ＝ 1 ，對(duì)一切自然數(shù) n ， f ( n ) a － 7 都成立的充要條件是 1 a － 7 ， 所以 a 8 ，故所求自然數(shù) a 的最大值是 7. 題型四 函數(shù)與方程思想在解決優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用 例 4 三棱錐 S — A BC ， SA ＝ x ，其余的所有棱長(zhǎng)均為 1 ， 它的體積為 V . ( 1 ) 求 V ＝ f ( x ) 的解析表達(dá)式，并求此函數(shù)的定義域； ( 2 ) 當(dāng) x 為何值時(shí)， V 有最大值？并求此最大值． 思維啟迪 作出底面 AB C 的垂面，把原三棱錐看作以這個(gè)垂面為底面的兩個(gè)三棱錐． 解 ( 1) 如圖，取 BC 中點(diǎn) D ，連結(jié) SD 、 AD ，則 SD ⊥ BC ，AD ⊥ BC ， ∴ BC ⊥ 平面 S AD . 作 DE ⊥ SA 于 E ， 由于 SD ＝ AD ＝32， 則 E 是 SA 的中點(diǎn)， ∴ DE ＝ ????????322－????????x22＝123 － x2. S △S A D＝12x 123 － x2＝14x 3
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