【文章內容簡介】 因為三質點隊形如初，質點運動方向條件如初，所以質點 A、 B、 C 的運動速度在質點與中心 O連線方向的分量仍為 vcos30176。 ，且為定值。最終三質點相遇在 O點，所以每個質點在質點與中心 O的連線方向上運動了 .3230c o s60s in32vlvlt ????B C2 A C l A1 A2 B1 B2 C1 l2 l1 O 32 ls in 6 0 0力學 解法四： 以 B為參照系，在兩者連線方向上 A對 B的相對速率恒為 v+vcos60176。 。最終相遇，相對運動距離為 l，所 用時間為 vlvlt3223 ??B C2 A C l A1 A2 B1 B2 C1 l2 l1 力學 演變 1： 如四個質點從正方形頂點出發(fā)，已知正方形邊長為l，結果如何？ （答案： t=l/v） 演變 2： 有五個花樣滑冰運動員表演一種節(jié)目，表演的動作規(guī)定為：開始時五人分別從正五邊形 ABCDE的五個頂點出發(fā)，以相同速率 v運動，如圖所示。運動中 A始終朝著 C， C始終朝著 E， E始終朝著 B， B始終朝著 D， D始終朝著 A，問經(jīng)過多長時間五人相聚？（已知圓半徑為 R） A B C D E （答案： t=） 力學 【 例 11】 在非洲有一種競速運動，從某一點出發(fā)奔向同一個目的地。途中要經(jīng)歷兩塊不同的場地，一塊是沼澤地，另一塊是普通陸地。已知某運動員在普通陸地上奔跑速度為 4m/s，在沼澤地上奔跑速度為 3m/s，要求從 A點跑到沼澤地中 B點時間最短，請你為他設計一條合理的路線。 陸地 沼澤地 A B 30m 40m 70m 1 3 2 沼澤陸地vv???s ins in??力學 費馬原理 光在任意介質中從一點傳播到另一點時，沿所需時間最短的路徑傳播。又稱最小時間原理或費馬原理，法國數(shù)學家費馬于 1657年首先提出。 沼澤陸地陸地沼澤vvnn????s i ns i n力學 【 演變 】 游泳池 ABCD長 50m,寬 ，某運動員在水中游速為 3m/s，在岸邊奔跑速度為 6m/s?，F(xiàn)從游泳池正中央的 P點出發(fā)，設法到達岸邊的 B點，要求時間最短該如何選擇路線？ P A B C D ?2163s in ???力學 【 例 12】 設想有一只老鼠在圓湖邊碰上貓 ,它想回洞已來不及 ,只好跳入湖中企圖逃走 .已知貓在岸上跑的速率是鼠在湖中游的速度的 4倍 ,湖邊周圍有很多鼠洞 .問老鼠能否逃脫貓的捕抓 . 【 分析 】 鼠、貓分別用 S、 M代表 .如圖所示 ,A、 B、 C是鼠逃命的三個方案 ,A/、 B/、C/是貓根據(jù)老鼠的逃命方案所制訂的追蹤方案 ,由 v貓 =4v鼠 ,及圓中弦與弧的關系 ,易知老鼠到達上岸點時 , 貓已在那里恭候多時了 .說明上述三個方案都不能使老鼠逃脫厄運 .但實際上只要老鼠想點辦法是可以逃脫的 .方法是老鼠可以先在湖內繞湖心轉圈 ,一旦老鼠、湖心、貓三點連成一條直線后再沿半徑方向向外游就能順利脫逃 . 力學 設圓湖半徑為 R,作 R/4同心圓 K,如果這樣來構造老鼠的運動過程 : 鼠下水后沿半徑方向向湖心游去 ,到達 R/4圓 K內 ,然后轉圈游 , 老鼠可以游到和貓不在同一半徑而在同一直徑的圓 K的邊界點 P的位置上去 ,然后沿此直徑游向湖岸 ,即可逃命 . 因為 P 到岸的最短距離是43R , 鼠到岸邊需時間鼠vR43, 由于貓 到鼠上岸點需運動半圓周 , 需 時間貓vR?, 而 v 貓 =4 v 鼠 , 所以有鼠vR43貓vR?. 鼠有時間逃進洞 力學 話題 4 有關萬有引力與天體運動 力學 天體運動中機械能守恒 天體運動中的機械能 E為系統(tǒng)的引力勢能與各天體的動能之和。僅有一個天體在運動時，則 E為系統(tǒng)的引力勢能與其動能之和。由于沒有其他 外力作用，系統(tǒng)內萬有引力屬于 保守力，故機械能守恒， E為恒 量，如圖所示，設 M天體不動， m天體繞 M天體轉動，則由機械動 能守恒，有 M1r2r1v2v222211 2121 mvrG M mmvrG M mE ???????力學 當運動天體背離不動天體運動時， PE 不斷增大，而 KE 將不斷減小， 可達無窮遠處，此時 0?PE 而 KE ≥ 0 ，則應滿足 E ≥ 0 ，即 021 2???mvrG M m 例如從地球發(fā)射人造衛(wèi)星要掙脫地球束縛必有 021 2???mvRG M m skmRgRGMv 2??? 力學 另外在上面的二體系統(tǒng)中，由于萬有引力屬于有心力， 所以對 m 而言，遵循角動量守 恒量?? rvm ?? 或 恒量?? ?s i nm v r rv 與是? 方向的夾角。它實質 為 開普勒第二定律， 即行星與恒星連線在相等時間內掃過面積等。 M1r2r1v2v力學 天體運動的軌道 若 M天體固定， m天體在萬有引力作用下運動，其圓錐曲線可能是橢圓（包括圓）、拋物線或雙曲線。 i）橢圓軌道 如圖所示，設橢圓軌道方程為 MO a x1va?2vybb?)0,(?12222?? byax則橢圓長，短半軸為 a 、 b ，焦距 22 bac ?? ， 近地點速度 1v ，遠地點速度 2v ，則有 caGM mmvcaGM mmvE?????? 22212121 )()( 21 camvcamv ??? 力學 或由開普勒第二定律： )(21)(2121cavcav ??? 可解得 ?????????????acaGMcavacaGMcav)/()()/()(21 代入 E 得 02???aG M mE 力學 太陽在其焦點（ A41,0）處，則 m 在拋物線頂點處能量為 A G M mmvAG M mmvE 421)41(21 2020???? 可以證明拋物線頂點處曲率半徑 A21??， 則有220)41/(/AG M mmv ?? 得到 A G Mv 80 ? 拋物線軌道能量 04)8(21???? A GMA GMmE ii)拋物線 2Axy ?M1r2r1v2v力學 iii）雙曲線 12222 ?? byax焦距 22 bac ?? ，太陽位于焦點（ C ， 0 ），星體 m 在雙曲線正半支上運動。如圖所示，其漸近線 OE 方程為 y=bx/a ，考慮m 在 D 處與無窮遠處關系，有 2202121????? mvxcGM mmvE 考慮到當 ??r ，運動方向逼 近漸近線， 焦點與漸近線距 bbacbFC ??? 22/ CDFO ab cxy)0,(c力學 有 bvacvD????21)(21 或 bmvacmv D ??? ?)( 聯(lián)解得 ?????????aGMacbvaGMvD/ 雙曲線軌道能量 02??aG M mE 力學 02???aG M mE 橢圓軌道 0?E 拋物線軌道 02??aG M mE 雙曲線軌道 小結 力學 【 例 13】 質量為 m的宇宙飛船繞地球中心 0作圓周運動，已知地球半徑為 R，飛船軌道半徑為 2R?，F(xiàn)要將飛船轉移到另一個半徑為 4R的新軌道上，如圖所示，求 （ 1）轉移所需的最少能量； （ 2）如果轉移是沿半橢圓雙切軌道進行的，如圖中的 ACB所示，則飛船在兩條軌道的交接處 A和 B的速度變化各為多少？ RR2R4A BCO圖 4104 力學 宇宙飛船在 2R 軌道上繞地球運動時，萬有引力提供向心力， 令其速度為 1v ，乃有 RmvRG M m2)2(212? 故得 RGMv21? 此時飛船的動能和引力勢能分別為 RG M mmvEk421 211?? RG M mEp21?? 力學 飛船在 2R 軌道上的機械能為 RGM mEEEpk4111???? 同理可得飛船在 4R 軌道上的機械能為 RG M mE82?? 以兩軌道上飛船所具有的機械能比較，知其機械能的增量 即為實現(xiàn)軌道轉移所需的最少能量，即 RG M mEEE812???? 力學 （ 2 ）由（ 1 ）已得飛船在 2R 軌道上運行的速度為 RGMv21? 同樣可得飛船 4R 軌道上運行的速度為 RGMv42? 設飛船沿圖示半橢圓軌道 ACB 運行時，在 A 、 B 兩點的速度 分別為??21 vv 和 。則由開普勒第二定律可得 RvRv 42 21 ????? 力學 又由于飛船沿此橢圓軌道的一半運行中機械能守恒，故應有 RG M mvmRG M mvm421221 2221????? 聯(lián)立以上兩式解之可得 RG M mv321?? RG M mv32212?? 故得飛船在 A 、 B 兩軌道交接處的速度變化量分別為 RGMvvvA213411 ?????????????? RGMvvvB432122 ?????????????? 力學 設想萬有引力的大小與兩質點間距離的α次方成正比， 即質量分別為 M 、 m 且相距 r 的兩質點 P 、 Q 間萬有引力的大小可 表述為 *2F G M m r?? ( 式中 G 為恒量 ) ． 再設 P 固定不動，那么 Q 相對 P 的運動軌道仍為一平面曲線．開普 勒第二定律 ( 面積定律 ) 仍成立．如果 Q 的諸多運動軌道中存在 — 種 半長軸 A 不等于半短軸 B 的橢圓曲線，試就下面兩種情況求α值． ( 1)P 在橢圓的一個焦點上； ( 2)P 在橢圓內的中心點上． 數(shù)學參考知識：橢圓兩頂點曲率半徑分別為 2AB和 2BA 【 例 14】 力學 【 分析 】 此題闡明了這樣一個事實，萬有引力定律為什么與兩質點間距離平方反比． 萬有引力定律是建立在開普勒行星運動三定律上的，若太陽是在地球橢圓軌道中心上的話，則萬有引力將與質點間的距離成正比． 解： 橢圓軌道如圖所示，其中 22 0C A B? ? ? 44 力學 (1) 設 P 在焦點 F 上，軌道 1 、 2 兩，兩處的曲率半徑分別記為ρ 1 、ρ 2 ，將 Q 在這兩點附近的運動處理為圓運動，便有 2*112*22( ) ,( ) .mvG M m A CmvG M m A C???????? 1v、2v為 A 在 1 、 2 兩點處的軌道速度．因12??? 即有 2122()()v ACv A C?????。 力學 由開普勒第二定律，可得 12( ) ( )v A C v A C? ? ? 即