【文章內容簡介】 ssSi ijijij 即 ijS 表示第 i 項指標的第 j 個元素值在 167 類材料的同一影響指標之和中所占的比例。 公路質量 綜合評價模型 權重的確定 評判因素公路質量的因素有 抗水損害性能、高溫性能、 低溫性能 三項指標，但抗水損害性能指標由兩項決定： TSR,S0，這兩者在決定公路抗水損害性能時所起的作用相同，近似將兩者對公路質量的影響程度看作相同。 由于題中并未對三項指標定出孰輕孰重，近似將三項指標的決定公路質量性13 能的作用力相同。 將四個評判因素的加權向量記為 4321 , ???? ，有： ????????????)(121432141???????ii 得到： 31,61 4321 ???? ???? 即各因素的權重分配為 (31,31,61,61) 綜合評判函數 綜合評判函數為： ? ? ??? 4 14321 , i ijij Sxxxxy ? 據此，可得出具有完整 樣本數據 的 167 種公路 類型 的質量 量化值： 平均直徑 題中給出了 13 種篩孔直徑，對應不同型號的集料，集料的粗細程度有較大差別。 在此將 篩孔全部通過的平均集料直徑作為衡量集料粗細程度的樣本數據，由于集料的直徑大小應該是 連續(xù)的，也就是說各個直徑的集料應當都是存在的，在此將每兩種直徑之間的集料直徑看作是均勻分布，就會出現 12 個均勻分布區(qū)間。 集料直徑概率密度 表達式 為： 直徑下界－直徑上界 1?d i a m e t e r 根據平均分布的函數取值的平均值在區(qū)間的中間 (即各個直徑邊界的平均值 )，將集料直徑歸為 12 種，即： 1 2 3 4 5 6 直徑大小 29mm 7 8 9 10 11 12 直徑大小 由于粗細程度有所差別，各個直徑上的集料數也會有所不同，第 i 個邊界值對應 的篩孔通過率為 )13,...2,1(39。 ?iai ( 39。1a 最大，為 100％； 39。13a 為最小的篩孔通過率 )，確立 ia ，有： )12...2,1(39。 139。 ??? ? iaaa iii 其中： 1121 ???i ia 得到的 12 個樣本數據就是 12 種直徑的離散分布概率，根據期望值的定義式，得到反映集料粗細程度的平均直徑 Diameter 表達式為 ： 14 ?? ??? 12 1)( i ii di a m e t e radi a m e t e rED i a m e t e r 各因素對 綜合 質量的影響 力分析 表中有些元素對應的數值缺失，保留 10 種元素完整的樣本數據組 為 65 個，因此在進行各因素對質量的影響力求解時， 需 對這 65 組完整樣本數據進行分析 ，以 建立影響高速公路路面質量的最重要的和比較重要的因素之間比較精確的數學模型。 采用樣本數據重排方法對已有的質量量化值進行處理，方法就是按照由小到大的順序重新排列。 初步分析 —— 單因素分析法 以 5 個樣本數據為一組分別求解質量量化 值的平均值同各個對應元素的平均值的關系 (篩孔 通過率以平均直徑作為衡量標準 )，也就是將質量的變異影響因素歸為 10 個因素，對每一個水平進行重復實驗。 缺點： 該方案 基于將各個因素分開討論 ，而忽略各因素的關聯性。 即 ：只有一個因素在變化，其他可控制的條件不變的情況。 通過求解，仍然發(fā)現關系不是很明顯，如下圖中所示 (圖一：油石比同質量的關系圖；圖二： VV 與質量的關系圖 )： 圖一 圖二 方法改進 —— 逐步回歸分析法 應該尋找一種方法， 計算每一個因素 變動時，都是在前一次計算的基礎上進行，并采用連環(huán)比較的方法確定因素變化影響結果 ，考慮采用逐步回歸方法。 逐步回歸方法是一種自動從大量可供選擇的變量中選擇那些對建立回歸方程比較重要的變量的方法，它在篩選變量方面較為理想，能包含對結果的影響程度較大而不包含對結果的影響力不顯著的變量回歸過程。 ? 線性回歸 將 10 個影響因素用符號表示為 1021 ..., zzz ，若質量值 y 和 10 個因素之間的關系是線性的， 1110102211 .... kzkzkzky ????? 使用 Matlab 工具箱里的命令 stepwise 進行逐步回歸： 15 StepwisePlot 窗口 StepwiseTable 窗口 圖形說明： 1點兩邊的水平（實或虛）直線段表示其置信區(qū)間，虛線表示該變量的擬合系數與 0 無顯著差異，實線表示有顯著性差異 2除第 7 條線外其余線都是紅色的，代表不再模型中的線，只有第 7 條線是綠色，代表在模型中的線。 結論： 由于只有第 7 條線是綠色實線，因此，質量值只與第 7 個因素即毛體積密度有顯著關系，這與理論上不符。在此考慮用類似于第一問的方法引入非線性方程。 ? 非 線性方程的引入 將某個 質量值看作是另外 10 個變量的非線性組合， 四者之間關系初步 即： 1110102211 .... ... kz ykz ykz yky ???? 對以上的系數進行求解時，考慮為了確定其中的未知參數，往往可以通過變量代換，把非線性化回歸化為線性回歸，然后利用線性回歸的方法確定參數值。 變換為： 10102211 ,...., zyyzyyzyy ??? 得到線性方程 ： 1110102211 . . . . . kykykyky ????? 用 Matlab 工具箱里的命令 stepwise 進行逐步回歸，得到 StepwisePlot 窗口和 StepwiseTable 窗口： 16 StepwisePlot 窗口 StepwiseTable 窗口 圖形說明 ： 1點兩邊的水平（實或虛）直線段表示其置信區(qū)間，虛線表示該變量的擬合系數與 0 無顯著差異，實線表示有顯著性差異 2除第 1， 3， 5， 7， 10 條線外其余線都是紅色的，代表不再模型中的線，第 2， 4， 6， 8，9 條線是綠色，代表在模型中的線。 結論： 質量值與第 1， 3， 5， 7， 10 因素即油石比， VV， VFA，毛體積密度，及 %GMM(最大 )有顯著關系，關系如下： 107531 ??????? yzzzzz 進 行假設檢驗如下： 1k 2k 3k 4k 5k [,5] [,2] [,1] [,] [,7] 6k 相關系數 分位值 概率 [,3] [1]逐步回歸的效果較好，與質量值有關的因素是油石比， VV， VFA，毛體積密度，及 %GMM(最大 )這 5 項因素。 [2]可近似認為幾個系數值反映的是各個因素的影響力大小，第一個系數值最大，代表油石比對最后的質量值的影響力最大，屬于關鍵影響因素，與原文一致。 各個質量指標同 各項因素的關系 17 利用同樣的逐步回歸方法得到 StepwisePlot 窗口如下 ： 圖一 圖二 圖三 圖四 Remarks:圖一，圖二，圖三，圖四分別代表 TSR， S0，車轍，彎拉應變與其他10 項因素之間的關系。 關系列表如下 ： 各項因素 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TSR √ √ √ √ √ √ S0 √ √ √ 車轍 √ √ √ 彎拉應變 √ √ √ √ 整體質量 √ √ √ √ √：表示有某種數量關系 通過計算，得到 z 與 x 間的關系表達式有： 1,xz ： 10865421 ??????? zzzzzzx 2,xz ： 10732 ???? zzzx 3,xz ： 1108 2 5 1 5 9 0 8 8 510556463 ??????? zzzx 4,xz ： 17 6 1 3 8103 4 4 8 9 2 9 6 9 5 510756514 ??????? zzzzx 提高高速公路路面的質量方案 18 基于以上的求解得到 的 非線性方程，若要使得 y 值最大，則應該盡量使 1z ，75,zz 值越大越好，使 103,zz 值越小越好。 將表中 107531 , zzzzz 的最大值與最小值分別記為 )2()2( , ii mM ， 10,7,5,3,1?i 建立最優(yōu)化模型如下： yMax ? ? ? ????????????????)2. . . . . . . . . (. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .) . . . . . . . . .10,7,5,3,1()1(..22107531iMzmyzzzzztSiii 經求解，得到結果為： 油石比 VV VFA 毛體積密度 %GMM(最大 ) 質量值 % 74% % 7 篩孔通過率與路面壓實度的上界關系（問題三） 章節(jié)假設 集料的篩孔通過率可理解為混合料中粗細不同集料的構成比例，體現在集料顆粒粒徑在不同尺寸的分布。將數學意義下的路面壓實度理解為集料顆粒對待鋪路面的填充體積的比例最大值。并做出以下兩點假設。 ? 假設集料顆粒均為規(guī)則的球體。 ? 在碾壓過程中，集料顆粒不會發(fā)生型變。 基于以上 分析及假設，下文就篩孔 通過濾與數學意義下路面壓實度上界之間的數量關系展開分析。 理論上對問題的定性探討 從文中所給出的％ Gmm（最大）可以看出，大多數混合料試件成型時達到的最大壓實狀態(tài)的壓實度從 %~％不等 。 原因在于集料的級配組成不同，而 混合料中有直徑不同的集料構成。 且瀝青在較高溫度時具有一定的流動性，使集料顆粒較易填充入未填充的空隙中。 于是 將實際工作過程 分解 為：在直徑較大的集料將待壓實路面體積裝滿后，直徑較小的集料再將其裝在空隙裝滿。 顯然，對于公路路面而言，在其設計中， 集料對路面 的鋪設厚度是被設計決定的。因此在實際工作中，只要達到％ Gmm（最大）即可停止碾壓，故％ Gmm（最大）并不一定是壓實度的上界。 因此這里并沒有對集料的篩選通過濾與％Gmm（最大）進行 相應 數據 的 分析。 在實際的壓實過程中， 鋪設路面的 體積 是一定的。 路面厚度鋪設路面面積鋪設路面體積 ?? 若從理論上探討篩孔通過率與路面壓實度上界的數量關系，可不妨將 待 鋪設路面體積視為由若干邊長很小的立方體組成的大容器； 而直徑各不相同的集料顆粒將使計算復雜化，因此 這里 將 每個集料顆粒視為 一個直徑較小的球體 。 若假設這些小球體的半 徑相同，且球體的直徑可由篩孔通過率體現，因此可19 將路面壓實度的上界問題轉化為 在空間中以 何 種方法放滿等 半徑 的球體，所浪費的空間最少 的問題 。 也就是著名的“ 開普勒猜想 ”。 根據題目中對壓實度的定義： 1 0 0?? 最大理論密度 試件密度壓實度 若假設 ? 為壓實度， 立方體的容積為 L ，球半徑為 r ，正方體內的球體數量為 N ；因為無論何種排列方式 排列 球體 ，都無法將立方體裝滿，因此有如下不等式成立。 0011 0 034 3???? LrN ?? 可將上式視為球內的裝載密度，而在壓實度上界的數學意義下， 以上問題 即求 如下最優(yōu)化模型。 10034 :3??? LrNM a x?? 當然，這種最優(yōu)化的模型是難以求解的。而開普勒給出了一種立方體內的球體排列方法，雖未經過嚴格地數學證明，但 至今 仍未找到其他更節(jié)省空間的排列方法。 因此 本文認為，“開普勒猜想”中所給出的排列方法即為求得該問題數學意義下上界的最優(yōu)解。 開普勒猜想的 球體 填充方案 假設 邊長為 2 的正立 方體，分別以立方體的八個頂點及六個面的中心為球心，以 22 為半徑作球。因為在這個立方體內，球的體積和即為 4 個整球體積（ 8個角，每個角有 81 個球；六個面，每個面有半個球）。 下圖通過 3dmax 軟件描述在各角度觀察的上述排列方案。 20 因此，上文的裝載密度可表示為 ： 3)2 2(4410034333???????? ???? L