第03講函數(shù)方程思想與建模高中版(編輯修改稿)
2025-07-27 04:31 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ∠APB＝60176。，請問怎樣運(yùn)土才能最省工？P60176。0BAMyx分析：“省工”翻譯成數(shù)學(xué)語言就是“到P的距離最近”，∴ 半圓中的點(diǎn)可分為3類：（1）沿AP到P較近；（2）沿BP到P較近；（3）沿AP，BP到P等距。其中第三類點(diǎn)集是（1）、（2）類點(diǎn)集的交集（分界線）。設(shè)M為分界線上的任一點(diǎn)，則 |MA|＋|AP|＝|MB|＋|BP| ，∴ |MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50（定值），∴ M在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線右支上，易得 。以AB為軸，AB中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，得邊界線為雙曲線上的一段： （）。故運(yùn)土?xí)r在雙曲線弧左側(cè)的土沿AP運(yùn)到P處，右側(cè)的土沿BP運(yùn)到P處最省工。4．三角模型例.（高一）已知某海濱浴場的海浪高度y（米）是時(shí)間t(0≤t≤24，單位小時(shí)）的函數(shù)，記作y=f(t)，下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)t（時(shí)）03691215182124y（米）1經(jīng)長期觀測y=f(t)的曲線可近似地看成函數(shù)y=Acosωt+b.（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y=Acosωt+b的最小正周期T，振幅A及函數(shù)表達(dá)式；（2）依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)（1）的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8：00至晚上20：00之間，有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動.解：（1）由表中數(shù)據(jù)，知T=12，ω=.由t=0,y=+b=.由t=3,y=,得b=，A=,b==，∴y=(2)由題意知，當(dāng)y1時(shí)，才可對沖浪者開放.∴1, 0.∴2kπ–,即有12k–3t13k+3.由0≤t≤24,故可令k=0,1,2,得0≤t3或9t15或21t≤24.∴在規(guī)定時(shí)間內(nèi)有6個(gè)小時(shí)可供沖浪者運(yùn)動即上午9：00至下午15：00.點(diǎn)評：本題使用三角模型。5．統(tǒng)計(jì)模型例（第4屆北京數(shù)學(xué)應(yīng)用競賽題）.燕隼（sun）和紅隼是同屬于隼形目隼科的鳥類．它們的體形大小如鴿，形略似燕，身體的形態(tài)特征比較相似．紅隼的體形比燕隼略大．通過抽樣測量已知燕隼的平均體長約為31厘米，平均翅長約為27厘米；紅隼的平均體長約為35厘米，平均翅長約為25厘米。近日在某地發(fā)現(xiàn)了兩只形似燕隼或紅隼的鳥。經(jīng)測量，知道這兩只鳥的體長和翅長分別為A（，），B（，）。你能否設(shè)計(jì)出一種近似的方法，利用這些數(shù)據(jù)判斷這兩只鳥是燕隼還是紅隼？解法一：把（31，27），（35，25），（32．65，25．2），（31．4，26．9）看作平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)?？梢酝ㄟ^這兩只鳥體長和翅長所確定的點(diǎn)與燕隼和紅隼的平均體長和平均翅長所確定的點(diǎn)之間的距離的大小來判斷他們應(yīng)歸屬于那一類。設(shè)燕隼的平均體長為，平均翅長為 ；紅隼的平均體長為，平均超長為。待判鳥的體長x，翅長為y，則它與燕隼和紅隼的距離分別為 由此可得判別規(guī)則：若則判此鳥為紅隼，則判此鳥為燕隼，則表明僅用這些數(shù)據(jù)無法給出明確的判斷。 在問題中有還有由上面的模型可以得到如下的分析結(jié)果：由于可知鳥A是紅隼，可知鳥B是紅隼。 （由于等價(jià)于，計(jì)算中可以不用開方）。 解法二 用體長與翅長的比（體翅比）來進(jìn)行判別。 不難算出，對于燕隼來說有，對于紅隼有，而對于鳥A和鳥B分別有 ，和。于是可以算出 由于，故鳥A為紅隼。 由于，故鳥B為燕隼。6．?dāng)?shù)列模型在經(jīng)濟(jì)活動中，諸如增長率、降低率、存款復(fù)利、分期付款等與年（月）份有關(guān)的經(jīng)濟(jì)計(jì)劃、市場預(yù)測等這類預(yù)測問題，大多可歸結(jié)為數(shù)列問題，即通過建立相應(yīng)的數(shù)列模型來解決。例. 對于一切大于1的自然數(shù)n，求證： 。分析：本題一般可用數(shù)學(xué)歸納法證明，也可將結(jié)論轉(zhuǎn)化一下，構(gòu)造數(shù)列來證。證明：作數(shù)列{an}，使其通項(xiàng)為∴an＋1＞an，∴當(dāng)n＞1時(shí)，an≥a2＞1，即得 ，即 。例. 某人計(jì)劃年初向銀行貸款10萬元用于買房．他選擇10年期貸款，償還貸款的方式為：分10次等額歸還，每年一次，并從借后次年年初開始?xì)w還，若10年期貸款的年利率為4％，且每年利息均按復(fù)利計(jì)算（即本年的利息計(jì)入次年的本金生息），問每年應(yīng)還多少元（精確到1元）？分析：首先需要明確，如果不考慮其它因素，同等款額的錢在不同時(shí)期的價(jià)值是不同的，例如現(xiàn)在的10元錢，其價(jià)值應(yīng)該大于1年后的10元錢。因?yàn)楝F(xiàn)在的10元錢，在1年的時(shí)間內(nèi)要產(chǎn)生利息。在此基礎(chǔ)上，這個(gè)問題，有兩種解題途徑。一是如果注意到按照貸款的規(guī)定，在貸款全部還清時(shí)，10萬元貸款的價(jià)值，與這個(gè)人還款的價(jià)值總額應(yīng)該相等。我們可以考慮把所有的款項(xiàng)都轉(zhuǎn)化到同一時(shí)間（即貸款全部付清時(shí)）去計(jì)算。二是從另一個(gè)角度思考，我們可以分步計(jì)算．考慮這個(gè)人在每年還款后還欠銀行多少錢。解法一：10萬元，在10年后（即貸款全部付清時(shí)）的價(jià)值為元。設(shè)每年還款x元，則第1次償還的x元，在貸款全部付清時(shí)的價(jià)值為；第2次償還的x元，在貸款全部付清時(shí)的價(jià)值為；……；第10次償還的x元，在貸款全部付清時(shí)的價(jià)值為元。于是 105(1+4％)10= x(1+4％)9+x(1＋4％)8＋x(1＋4％)7+…+x ，由等比數(shù)列求和公式可得 ，其中 所以， 。解法二：仍然設(shè)每年還款x元。則第一年還款后，欠銀行的余額為 元；如果設(shè)第k年還款后，欠銀行的余額為元，則 。不難得出 ＝105(1+4％)10－x(1+4％)9－x(1＋4％)8－x(1＋4％)7－…－x ，另一方面，按道理，第10次還款后，這個(gè)人已經(jīng)把貸款全部還清了，故有。由此布列方程，可得同樣的結(jié)果。點(diǎn)評：存、貸款問題為典型的數(shù)列應(yīng)用題，解決問題的關(guān)鍵在于：①分清單利、復(fù)利（即等差與等比）；②尋找好的切入點(diǎn)（如本題的兩種不同的解題途徑）。7．復(fù)數(shù)模型例. 求證： 。（含有復(fù)數(shù)三角式）分析：本題類似于二項(xiàng)展開式系數(shù)的性質(zhì)，其符號的正負(fù)間隔跳躍又類似于in的周期性變化，故試構(gòu)造復(fù)數(shù) 以輔助證明。證明：∵ 又 ，∴ ， ，得 。8．排列組合模型9．二項(xiàng)式模型10．向量模型例. 證明：sin5176。+sin77176。+ sin149176。+sin221176。+sin293176。=0 。分析：審題時(shí)發(fā)現(xiàn)這些角都依次相差72176。，聯(lián)想到正五邊形的內(nèi)角關(guān)系，由此構(gòu)造一個(gè)正五邊形，如圖。由于 ++++ ，從而各個(gè)向量在Y軸上的分量之和亦為0，故知原式成立。11．立幾模型12．解幾模型例. （高一）設(shè)函數(shù)，已知，時(shí)恒有，求a的取值范圍.分析: 把 變形得 ，令曲線為 ，直線為 ，故只要求直線L不在半圓C下方時(shí), 直線L 在y軸上的截距的最小值。當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，易求得 或 （舍去），故當(dāng) 時(shí)，恒有 。點(diǎn)評：本題構(gòu)建曲線方程求參數(shù)取值范圍。能力測試認(rèn)真完成！參考答案仔細(xì)核對！函數(shù)方程思想與建模12345678910111213141516171819利用函數(shù)方程思想分析問題在方程問題中的應(yīng)用√在不等式問題中的應(yīng)用√在數(shù)列問題中的應(yīng)用在最值問題中的應(yīng)用在求參數(shù)取值范圍中的應(yīng)用構(gòu)造模型解決問題√√√√√√√√√√√√√√√√√√1．設(shè)集合A={x｜4x–2x+2+a=0,x∈R}.（1）若A中僅有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值集合B；（2）若對于任意a∈B，不等式x2–6x＜a(x–2)恒成立，求x的取值范圍.yxoyxo
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