【正文】 費為 (元) ，合計 ＋＝ (元) 。(3) 據(jù)題設可得如下x與y的關系，其函數(shù)圖象如圖　13. 已知 ，求證： 。提示：這是一道純粹的三角命題，一般可用三角方法來證明。如果能由題中式子的形狀而聯(lián)想到橢圓標準方程，就可以使用構造幾何模型的解法。證明：設橢圓的方程為 ，由題設可知點在橢圓上，又∵ (cos2B，sin2B) 也滿足C的方程，∴ 點 N(cos2B，sin2B) 也在橢圓C上，∵ (cos2A，sin2A)滿足 x＋y＝1 ，∴ 點M也在此切線上，由切線上切點的惟一性可知，點M與點N重合，于是 cos2A＝cos2B，sin2A＝sin2B 。14．將四邊形的每條邊都涂以紅、黃、藍三種顏色中的一種，要使得相鄰的邊的顏色互不相同，有多少種不同的涂色方法？分析：本題從表面上看是排列組合的問題，與數(shù)列沒有關系，但直接考慮并不簡單，為此，我們考慮更一般的問題（即對于n邊形的涂色問題），并建構如下遞推數(shù)列的模型。設n邊形（各邊依次為）滿足條件的涂色方法有種，考慮n＋1邊形的涂法。從邊開始考慮，對于，有3種涂法；對于邊，由于要不同于邊，故有2種涂法；……；對于，有2種涂法；最后考慮邊，如果不考慮這條邊是否與邊同色，則也應該有2種涂法，故涂法種數(shù)為。上述涂色的方法中，包括兩種，第一種是邊與邊的顏色不同，這種涂色方法恰好符合題意，其總數(shù)應該為；第二種是邊與邊的顏色相同，對于這一種涂色方法，如果我們把邊與邊看作是同一條邊，則其涂色方法也滿足題目中對于n邊形的要求，故涂色方法總數(shù)應該為。由此，不難得出 ，所以， 。另一方面，顯然有 ，所以，顯然， 。點評：本題的難點在于遞推數(shù)列模型的建立，一般來說，數(shù)列型應用題的特點是：與n有關。15（第4屆北京數(shù)學應用競賽題）.個人住房貸款有如下兩種按月還本付息的辦法：第一種辦法是等額本息還款法，其還款方式已經在1999年第三屆北京高中數(shù)學知識應用競賽初賽試題的第3題中作了介紹，并要求給出月均還款額、還款總額和利息負擔總和的計算公式．按照這些公式不難算出，一個人如果從銀行得到買房貸款40萬元，計劃20年還清貸款，％（％。），。第二種辦法是等額本金還款法（又叫等本不等息還款法），指在貸款期間內，每月除了要還清當月貸款的利息外，還要以相等的額度償還貸款的本金．這樣一來，每月償還的貸款的利息將隨本金的減少而逐月遞減．因此稱之為等本不等息還款法．如果這個貸款人選擇了等額本金還款法在20年內償還他所借的40萬元貸款，，％的利息。請你給出等額本金還款法的每月還款額、還款總額和利息負擔總和的計算公式，使用這些公式計算貸款初期的前三個月的每月還款額，并進一步分析貸款人還款多少個月之后他每個月的還款負擔將低于等額本息還款法的還款負擔。解：設貸款（本金）為N，貸款期限為n（月），月利率為，則根據(jù)題意，每月償還的本金額應為 如果規(guī)定從貸款的第二個月開始于每個月的月初償還上個月所余的本金的利息及部分本金，則第k月的月底貸款人尚欠銀行的貸款額：（k=1,2,...+1月的月初所償還的第k個月的欠款的利息為：，k=1,2,...n. 第k+1月的月初的還款總額為：，k=1，2，...n. 整個貸款期間利息的負擔總額為： 還款總額為：B=D+N。 對于上述實例我們有 N=40（萬元），n=240（月），=， D=（萬元），B=（萬元） ，與題中給出的結果一致。 還可以得到：由于定額本息還款法的月均還款額為a=（萬元），欲使定額本金還款法的月還款負擔低于上述月均還款額，則它應滿足 即要求。 將a,N,n和的數(shù)值代入止式，可以得到k1，從第99個月開始，即從第九年的第三個月開始定額本金還款法的每月還款負擔就開始低于定額本息還款法。16．某縣位于沙漠邊緣，當?shù)鼐用衽c風沙進行著艱苦的斗爭，到2000年底全縣的綠地已占全縣總面積的30%．從2001年起，市政府決定加大植樹造林、開辟綠地的力度，則每年有16%的原沙漠地帶變成了綠地，但同時，原有綠地的4%又被侵蝕，變成了沙漠．（Ⅰ）在這種政策之下，是否有可能在將來的某一年，全縣綠地面積超過80%？（Ⅱ）至少在多少年底，該縣的綠地面積才能超過全縣總面積的60%？分析：我們可以設全縣面積為1，記2000年底的全縣綠地面積占總面積的百分比為，經過n年后全縣綠地面積占總面積的百分比為，則我們所要回答的問題就是：① 是否存在自然數(shù)，使得80% ？② 求使得60%成立的最小的自然數(shù)。為了解決這些問題，我們可以根據(jù)題意，列出數(shù)列的相鄰項之間的函數(shù)關系，然后由此遞推公式出發(fā)，設法求出這個數(shù)列的通項公式．由題可知：，所以，當時，兩式作差得： 又， 所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列． 所以， 由上式可知：對于任意，均有．即全縣綠地面積不可能超過總面積的80%． （Ⅱ）令，得，由指數(shù)函數(shù)的性質可知：隨的增大而單調遞減，因此，我們只需從開始驗證，直到找到第一個使得的自然數(shù)即為所求．驗證可知：當時，均有，而當時，由指數(shù)函數(shù)的單調性可知：當時，均有．所以，從2000年底開始，5年后，即2005年底，全縣綠地面積才開始超過總面積的60%．17（2003年高考北京題）．有三個新興城鎮(zhèn)，分別位于A，B，C三點處，且AB=AC=a，BC=，為同時方便三鎮(zhèn)，準備建在BC的垂直平分線上的P點處，（建立坐標系如圖）（Ⅰ）若希望點P到三鎮(zhèn)距離的平方和為最小， 點P應位于何處？（Ⅱ）若希望點P到三鎮(zhèn)的最遠距離為最小， 點P應位于何處？解： （Ⅰ）解：由題設可知，記設P的坐標為（0，），則P至三鎮(zhèn)距離的平方和為 所以，當時，函數(shù)取得最小值. 答:點P的坐標是（Ⅱ）解法一：P至三鎮(zhèn)的最遠距離為 由解得記于是 當即時，在[上是增函數(shù)，而上是減函數(shù). 由此可知,當時,函數(shù)取得最小值. 當即時,函數(shù)在[上,當時,取得最小值,而上為減函數(shù),且 可見, 當時, 函數(shù)取得最小值. 答當時,點P的坐標為當時,點P的坐標為(0,0),其中 解法二:P至三鎮(zhèn)的最遠距離為 由解得 記于是 當?shù)膱D象如圖，因此，當時，函數(shù)取得最小值. 當即的圖象如圖，因此，當時，函數(shù)取得最小值.答：當時，點P的坐標為當，點P的坐標為（0，0），其中 解法三：因為在△ABC中，AB=AC=所以△ABC的外心M在射線AO上，其坐標為， 且AM=BM=CM. 當P在射線MA上，記P為P1；當P在射線MA的反向延長線上，記P為P2，若（如圖1），則點M在線段AO上，這時P到A、B、C三點的最遠距離為P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以點P與外心M重合時，P到三鎮(zhèn)的最遠距離最小. 若(如圖2),則點M在線段AO外,這時P到A、B、C三點的最遠距離為P1C或P2A， 且P1C≥OC，P2A≥OC，所以點P與BC邊中點O重合時，P到三鎮(zhèn)的最遠距離最小為.答：當時，點P的位置在△ABC的外心；當時，點P的位置在原點O.18.（高三）深夜，一輛出租車被牽涉進一起交通事故，該市有兩家出租車公司——紅色出租車公司和藍色出租車公司，其中藍色出租車公司和紅色出租車公司分別占整個城市出租車的85%和15%。據(jù)現(xiàn)場目擊證人說，事故現(xiàn)場的出租車是紅色，并對證人的辨別能力作了測試，測得他辨認的正確率為80%，于是警察就認定紅色出租車具有較大的肇事嫌疑. 請問警察的認定對紅色出租車公平嗎？試說明理由。解：設該城市有出租車1000輛，那么依題意可得如下信息：證人所說的顏色（正確率80%）真實顏色藍色紅色合計藍色（85%）680170850紅色（15%）30120150合計7102901000從表中可以看出，當證人說出租車是紅色時，且它確實是紅色的概率為，而它是藍色的概率為. 在這種情況下，以證人的證詞作為推斷的依據(jù)對紅色出租車顯然是不公平的。點評：本題使用統(tǒng)計模型。本題的情景清新, 涉及到新教材中概率的知識, 上述解法中的列表技術顯示了一定的獨特性。19（2004年高考理科北京題）．某段城鐵線路上依次有A、B、C三站，AB=5km，BC=3km，在列車運行時刻表上，規(guī)定列車8時整從A站發(fā)車，8時07分到達B站并停車1分鐘，假設列車從A站正點發(fā)車，在B站停留1分鐘，并在行駛時以同一速度勻速行駛，列車從A站到達某站的時間與時刻表上相應時間之差的絕對值稱為列車在該站的運行誤差.（I）分別寫出列車在B、C兩站的運行誤差。（II）若要求列車在B，C兩站的運行誤差之和不超過2分鐘，求的取值范圍.解：（I）列車在B，C兩站的運行誤差（單位：分鐘）分別是 和 .（II）由于列車在B，C兩站的運行誤差之和不超過2分鐘，所以 . （*）當 時，（*）式變形為 ,解得 。 當 時，（*）式變形為 ,解得 。 當 時，（*）式變形為 ,解得.綜上所述，的取值范圍是[39，] 。點評：本題使用不等式模型。