函數(shù)與方程思想總結(jié)(很好很全面)-資料下載頁(yè)
2025-06-16 04:06本頁(yè)面
【正文】 或單調(diào)遞減； ②存在區(qū)間使f(x)在上的值域?yàn)?；那么把叫閉函數(shù)． （1）求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間； （2）判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)？并說(shuō)明理由； （3）若是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的范圍．分析： 這是一個(gè)新定義型的題目，要能從題中所給信息，進(jìn)行加工提煉，得出解題的條件．解： ?。?）由題意，上遞減，則解得 所以，所求的區(qū)間為[－1，1]． ?。?）當(dāng) 所以，函數(shù)在定義域上不單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)． ?。?）若是閉函數(shù)，則存在區(qū)間[a，b]，在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇a，b]，即，的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根．設(shè)f(x)=x2－(2k＋1)x＋k2－2. 法一：當(dāng)時(shí)有解得．當(dāng)有此時(shí)不等式組無(wú)解．綜上所述，． 法二：只需滿足方程x2－(2k＋1)x＋k2－2＝0有兩大于或等于k的不等實(shí)根，即：點(diǎn)評(píng)：在解數(shù)學(xué)題的過(guò)程中，尋找一個(gè)命題A的等價(jià)命題B往往是解題的關(guān)鍵，本題就是運(yùn)用函數(shù)與方程的思想把一個(gè)看似函數(shù)性質(zhì)討論的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程解的討論問(wèn)題．題型二 函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用【例4】．設(shè)abc，且a＋b＋c=0，拋物線被x軸截得的弦長(zhǎng)為l，求證：．證明：，且．從而． 故拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理得． ?。 】梢?jiàn)，是的二次函數(shù)． 由及，得，解得． 在上是減函數(shù)， ，即．題型三 函數(shù)與方程思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用【例5】．已知函數(shù)f(x)=x2－(m＋1)x＋m(m∈R)． (1)若tanA，tanB是方程f(x)＋4=0的兩個(gè)實(shí)根，A、：m≥5； (2)對(duì)任意實(shí)數(shù)α，恒有f(2＋cosα)≤0，證明m≥3?！ ?3)在(2)的條件下，若函數(shù)f(sinα)的最大值是8，求m．（1）證明：f(x)＋4=0即x2－(m＋1)x＋m＋4=0．依題意： 又A、B銳角為三角形內(nèi)兩內(nèi)角，∴＜A＋B＜π． ∴tan(A＋B)＜0，即． ∴∴m≥5．(2)證明：∵f(x)=(x－1)(x－m)，又－1≤cosα≤1， ∴1≤2＋cosα≤3，恒有f(2＋cosα)≤0． 即1≤x≤3時(shí)，恒有f(x)≤0即(x－1)(x－m)≤0，∴m≥x但xmax=3，∴m≥xmax=3．(3)解：∵f(sinα)=sin2α－(m＋1)sinα＋m=， 且≥2，∴當(dāng)sinα=－1時(shí)，f(sinα)有最大值8． 即1＋(m＋1)＋m=8，∴m=3．題型四 函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應(yīng)用【例6】．直線和雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)P(－2，0)和線段AB的中點(diǎn)M，求l在y軸上的截距b的取值范圍．解：由消去y，得．（） 因?yàn)橹本€m與雙曲線的左支有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程（）有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根． 所以解得． 設(shè)，則 由三點(diǎn)共線，得出． 設(shè)，則在上為減函數(shù)， ，且．，或， ，或．題型五 函數(shù)與方程思想在立體幾何中的應(yīng)用【例7】．如圖，已知面，于D，． ?。?）令，試把表示為x的函數(shù)，并求其最大值； ?。?）在直線PA上是否存在一點(diǎn)Q，使成立？解答：（1）∵面，于D，∴． ∴． ?。邽樵诿嫔系纳溆埃 ?，即． ∴． 即的最大值為，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得． ?。?）．令，解得：，與交集非空．∴滿足條件的點(diǎn)Q存在．點(diǎn)評(píng)： 本題將立體幾何與代數(shù)融為一體，不僅要求有一定的空間想象力，而且，做好問(wèn)題的轉(zhuǎn)化是解決此題的關(guān)鍵．
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